Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe so gar nicht weiter, kann mir da jemand helfen?
Supremum und Infimum
Seien \( X, Y \subseteq \mathbb{R} \) nichtleer und beschränkt.
(a) Zeigen Sie: Es gilt \( \sup (X \cup Y)=\max \{\sup (X), \sup (Y)\} \)
(b) Zeigen Sie: Sei \( r \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und \( r X:=\{z \in \mathbb{R} \mid z=r x \) für geeignetes \( x \in X\} \). Dann gilt
\( \inf (r X)=\left\{\begin{array}{ll} r \inf (X) & r>0 \\ r \sup (X) & r<0 \end{array} .\right. \)
(c) Sei \( A:=\left\{\frac{1}{1+x^{2}} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \). Zeigen Sie, dass \( A \) beschränkt ist, und bestimmen Sie Supremum und Infimum.
Hinweis: Es genügt nicht, die Werte der genannten Größen in (c) nur anzugeben, Sie müssen auch begründen, dass sie der Definiton genügen.
