Man muss einen Abbildungsbeweis zeigen

Question

Aufgabe:

Es gilt a, b sind Elemente den reellen Zahlen, wobei a kleiner ist als b. Beweisen sie, dass es für alle X ∈ {(a, b),(a,∞),(−∞, a)} eine Abbildung mit Bijektion gibt φ : X → R

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen? Ich habe noch weitere Aufgaben dieser Art und bräuchte mal die Lösung für eine damit ich die anderen alleine rechnen kann.

Comments

Kann mit jemand vielleicht hier helfen? oder braucht man mehr Informationen?

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Ich verstehe nicht so ganz, was X sein soll. Ist das die Menge aller reellen Zahlentripel <u,v,w> , wobei gelten soll:

(a < u < b)  ∧  (a < v)   ∧  (w < a)

So habe ich das wenigstens verstanden. Ist das richtig - oder wie dann sonst ?

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Kann ich tatsächlich gar nicht so genau sagen. So stand es zumindest mal in der Aufgabenstellung

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Aber ich nehme mal an, dass es so wie du meinst stimmt.

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Falls es wirklich so gemeint ist, könnte man sich zuerst einmal auf den Spezialfall mit  a = 0  und  b = 1  konzentrieren. X wäre dann die Menge der Zahlentripel  <u,v,w>  mit  u ∈ ( 0 ... 1 ) und  v < 0 und  w > 0  . Und nun soll man eine Bijektion zwischen dieser Tripelmenge X  und der Menge  ℝ  konstruieren.

Wie das gehen soll, sehe ich aber im Moment jedenfalls noch nicht ...

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sehe ich aber im Moment jedenfalls noch nicht .

Dann musst du dir die Aufgabenstellung richtig ansehen : Da steht, dass X ein Element einer dreielementigen Menge ist.

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Kannst du mir es dann erklären wie es geht. Stehe mit der Aufgabe gerade unter Zeitdruck. Ist die einzige die mir fehlt

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Die drei Elemente der Menge X wären dann aber drei offene Intervalle von ℝ ?

Ich sehe da auch dann immer noch nicht ganz durch ...

Zwischen einer dreielementigen Menge X und der überabzählbaren Menge ℝ gibt es ja doch garantiert keine Bijektion !

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Für den Fall, dass \(X=(a,b)\) ist, schlage ich \(\varphi(x)=\dfrac1{b-x}-\dfrac1{x-a}\) vor.

Answer 1

Nach einigem weiteren Nachdenken komme ich zu folgendem Schluss:

Wahrscheinlich war die Aufgabe deutlich einfacher gedacht. Man könnte sie aber auch viel, viel klarer und nutzerfreundlicher formulieren, nämlich zum Beispiel so:

"Zeige, dass jedes offene Intervall von ℝ bijektiv auf ℝ abgebildet werden kann, einerlei ob das Intervall beschränkt oder einseitig oder beidseitig unbeschränkt ist."

Comments

"Beidseitig unbeschränkt" wird gar nicht gefragt, wahrscheinlich weil zu trivial.

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War mir eigentlich auch klar !