Bijektive Abb. von N -> Z; N -> N x N; N -> Q; N -> N x {1,...,n}

Question

Ich suche bijektive Funktionen:

a) f: N -> Z
f(n) = falls n  gerade: n/2
      = falls n ungerade n+1/-2

Hier zähle ich auch die 0 zu den ungeraden Zahlen, welches mir z = 0 zurück gibt und somit auch die Mengen mit 0 abgedeckt sind. Ich hoffe das ist so korrekt.

b) g: N -> N x {1,...,n}, n Element von N

Leider fällt mir nichts ein. Der Wertebereich ist eine Teilmenge von N x N, daher muss es hier wie bei N x N auch
eine bijektive Abb. geben.

c) h: N -> N x N

Ich denke es gibt eine bijektive Abb., man könnte sicher jedem n aus N ein (n, n) aus N x N zuweisen und alle Zahlenpaare "nach oben abzählen".

d) j: N -> Q

Es muss auch hier eine bijektive Abb. geben laut Mächtigkeit der einzelnen Mengen, jedoch fällt mir auch hier nichts ein.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Hallo

ℕ->ℤ menst du vielleicht das richtige, aber ungerade Zahlen willst du auf -(n+1)/2?  abbilden , für 0 schreib lieber f(0)=0 als 0 als gerade oder ungerade "anzunehmen"

N->Q  das übliche Diagonalverfahren (Cantor) oder da du N-> N x N kennst, Brüche als Zahlenpaare.

N->N x {1,2} machen dann  mit {1,2,3} dann verallgemeinern

Gruß lul

Comments

j: N -> Q
j(1) = 1
j(2n) = j(n) + 1
j(2n+1) = 1 / j(n) + 1

h: N -> N x N
h (n) = h (2^v * u) = (v+1, (u+1)/2)

2^v * u ist die Primfaktordarstellung von n.

Für N -> N x {1,...,n} habe ich immernoch nichts.
Kann mir da jemand eine Fkt. vorschlagen, bitte?

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Hallo

 N nach Q seh ich so nicht, du erreichst keinen Bruch p/q mit q>p also nicht bijektiv, immer wenn du dir eine Abb ausdenkst solltest du dir wenigstens 2 Zahlen in N aber auch 2 Zahlen in  Q überlegen. also kann ich 5/7 erreichen, und 7/5 usw.

aber warum nicht p/q als (p,q) auffasen und genauso abbilden wie auf N x N?

N-> N x{1,2,...n}

es ist immer einfacher die umgekehrte Abb anzusehen.

also N x{1,2,...n}-N

 dann wird 1 x {1,2,...n} nacheinander auf 1 bis n abgebildet ,

2 x {1,2,...n} auf n+1 bis 2n usw

 jetzt umgekehrt f(m)=(⌈m/n⌉,m mod n+1)

für n-> N x N geht deine Abbildung wohl, es ist nur nicht die übliche.

Gruß lul

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Habe tatsächlich versucht bei N -> Q genauso vorzugehen wie ich es bei N -> N x N getan habe, jedoch stoße ich auf ein Problem mit der Injektivität.
Denn wenn j(n) = j(2^v * u) = p / q, mit p = v+1 und q = (u+1)/2
dann kriege ich für n = 1 den Bruch 1 / 1 und für n = 6 den Bruch 2 / 2 usw.
D.h. jedes mal wenn die Zahl 1 in verschiedenen Brüchen dargestellt wird, verstößt es doch gegen die Injektivität.

Welche Abbildung wäre denn die übliche für N -> N x N, sodass ich die auf für N -> Q anwenden kann?

Deine Funktion für N -> N x {1,..,n) ist soweit ich richtig rechne nicht bijektiv, denn wie stelle ich (2,0) und (2,2) dar mit n = 2 ?

Meine Werte für f(m) = (⌈m/n⌉,m mod n+1) von N -> N x {1,2} sind folgende
m  :  (x,y)
1 : (1,1)
2 : (1,2)
3 : (1,0)
4 : (2,1)
5 : (3,2) ( hier wird m/n = 5/2 aufgerundet auf 3...)
6 : (3,0)
7 : (3,1)
8 : (4,2)
9 : (5,0)
10 : (5,1)
usw.