Rechnen mit dem Kreuzprodukt

Question

Aufgabe:

bin gerade in einem Physikskript über eine Rechenoperation mit dem Kreuzprodukt gestolpert:

\( \vec{a} \) ×\( \vec{a} \) ×\( \vec{v} \) =\( \vec{-v} \) ,

jetzt wo ich es sehe, klingt das auch recht logisch, ist das richtig, dass diese Relation allgemein gültig ist^?

Danke

Answer 1

\(\vec{a} \) ×\( \vec{a} \) ×\( \vec{v} \) =\( \vec{-v} \) 

ist Schwachsinn, weil \(\vec{a} \) ×\( \vec{a} \)  den Nullvektor ergibt.

Und falls da eine Klammer fehlt, müsste immer noch zusätzlich \(|\vec{a}|=1 \) vorausgesetzt werden.

Comments

Ja, die Klammer hab ich jetzt unterschlagen und auch dass es sich bei a um den normalvektor handelt, also:

\( \vec{a} \) ×(\( \vec{a} \) ×\( \vec{v} \))=-\( \vec{v} \)

Answer 2

\( \vec{a} \) ×\( \vec{a} \) ist der Nullvektor \( \vec{n} \).

\( \vec{n} \) ×\( \vec{v} \) ist ebenfalls der Nullvektor \( \vec{n} \).

Aber im allgemeinen gilt nicht \( \vec{n} \)= - \( \vec{v} \).

Answer 3

Aloha :)

Es gilt die "BAC"-Regel:\(\quad \vec a\times(\vec b\times\vec c)=\vec b\cdot(\vec a\cdot\vec c)-\vec c\cdot(\vec a\cdot\vec b)\)

Daher ist:$$\vec a\times(\vec a\times\vec v)=\vec a\cdot(\vec a\cdot\vec v)-\vec v\cdot(\vec a\cdot\vec a)$$Das ist offenbar nur dann gleich \((-\vec v)\), wenn \(\vec a\perp\vec v\) ist und \(\|\vec a\|=1\).