Funktionen einer/mehrerer Variabler. Bsp. Gleichungen der zwei Tangenten an zwei Parabeln bestimmen.

Question

Frage 1: Es sei eine Funktion f(x)definiert durch f(x) = x für x<=1 und f (x)= ax²+bx+c für x>1. Man soll nun die Koeffizienten a, b und c so bestimmen, dass diese Funktion in x1=1 differenzierbar ist und ausser in x0=0 eine weitere Nullstelle x2=2 besitzt.. Ich komm leider nicht auf die Lösung welche Lautet a=-2 b=5 und c=-2

 

Nachtrag:

Frage 2:Es gibt genau zwei Geraden, die die Parabel y= x²+4x+1, als auch die Parabel y= -x² +4x-1 berühren.. Nun soll man die Gleichung der beiden Geraden herausfinden.

Answer 1

Es handelt sich im Prinzip um eine gewöhnliche Rekonstruktionsaufgabe, nur die Informationen sind etwas ungewöhnlich:

I.) Die Funktion ist in x₁=1 differenzierbar, das heißt insbesondere, sie ist stetig. Also muss erstmal der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen Grenzwert sein, mit anderen Worten:
f₁(x) = x muss an der Stelle x=1 den gleichen Wert haben wie f₂(x)=ax²+bx+c.

⇒a+b+c = 1

II.) Die Funktion muss wie gesagt nicht nur stetig sondern sogar differenzierbar sein, das heißt, die Ableitung muss existieren und eindeutig sein.

f₁'(x) = 1
f₂'(x) = 2ax + b

⇒ 2a + b = 1

III.) Es soll eine Nullstelle bei x=2 geben:
f₂(2) = 4a + 2b + c = 0

Man erhält also das folgende lineare Gleichungssystem:

 

a+b+c = 1
2a + b = 1
4a+2b+c = 0

Subtrahiert man die erste Gleichung von der dritten erhältst man:
3a + b = -1

Subtrahiert man davon noch die zweite Gleichung, dann ergibt sich:
a = -2

Damit lassen sich dann b und c ausrechnen:

b = 5
c = -2

Also genau die gegebene Lösung.

Comments

Ach klar! jetzt hab ichs kapiert.. Oh man..

f1(x) = x muss an der Stelle x=1 den gleichen Wert haben wie f2(x)=ax²+bx+c.

--> Das wäre der Schlüssel zur Lösung gewesen :/ DANKE !! :))

Ich hätte da noch eine weitere Frage die ich nicht ganz verstanden habe..:

Es gibt genau zwei Geraden, die die Parabel y= x²+4x+1, als auch die Parabel y= -x² +4x-1 berühren.. Nun soll man die Gleichung der beiden Geraden herausfinden..

Meine Idee dazu wäre gewesen, die beiden Parabeln zu zeichnen und dann einen Punkt zu suchen wo eine Tangente liegen kann und daraus die Tangentengleichung zu ermitteln.. Aber ich vermute mal schwer dass das nicht stimmt.. g1:y= 6x und g2: y = 2x das sind die Lösungen

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Du musst für beide Parabeln die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt aufstellen.
Das funktioniert folgendermaßen:

Erstmal für die erste Parabel f(x) = x²+4x+1:
Wir wollen die Gleichung der Tangente t(x) ausrechnen, die die Funktion in einer beliebigen aber festen Stelle a berührt: die Eigenschaften dieser Tangente hängen außschließlich von a ab.

Sie hat zwei Eigenschaften:

1.) t(a) = f(a)
2.) t'(x) = f'(a) für alle x

Also müssen wir Funktionswert und Steigung der Funktion f an der Stelle a ausrechnen:

Der Funktionswert lautet a²+4a+1, die Steigung 2a+4.
Die Funktion hat also die Gleichung:
 

t(x) = (2a+4)*(x-a) + a²+4a+1

Man kann sich leicht davon überzeugen, dass sie die gewünschten Anforderungen erfüllt.

 

Für die zweite Funktion g(x) = -x²+4x-1 erhält man analog die Tangente s(x) an der Stelle b:

s(x) = (-2b+4)*(x-b) - b²+4b-1

Und diese beiden Tangenten sollen nun ein und dieselbe Funktion sein.
Zunächst sieht das nach einem unterbestimmten Problem aus, da man zwei Variablen aber nur eine Gleichung s(x)=t(x) besitzt. Tatsächlich lassen sich daraus aber zwei Gleichungen gewinnen, denn in Wirklichkeit ist die Gleichung

s(x) ≡ t(x) für alle x

Schreibt man s(x) und t(x) also in der Form u*x + v, dann muss bereits u_s = u_t und v_s = v_t gelten.
Die Klammern müssen also ausmultipliziert werden:

t(x) = (2a+4)*x - 2a²-4a + a² + 4a + 1 = (2a+4)*x - a² + 1
s(x) = (-2b+4)*x + 2b²-4b - b² + 4b -1 = (-2b+4)*x + b²-1

Zu lösen ist also das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

2a+4 = -2b+4
-a²+1 = b²-1
 

Subtrahiert man von der ersten Gleichung auf beiden Seiten die 4 und teilt durch 2, erhält man:
a = -b

Setzt man das in die zweite Gleichung ein, dann erhält man:
-a²+1 = a²-1  |+a²+1
2 = 2a²  |:2
1 = a²

Nun hat das System offenbar zwei Lösungen, nämlich:
(a, b) = (1, -1)
(a, b) = (-1, 1)

Und die Gleichungen der beiden Geraden erhält man dann durch einsetzen in die Tangentengleichungen. Sie lauten dann:

g₁(x) = 6x
g₂(x) = 2x

Das sind genau die Lösungen, die angegeben sind.

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Um gottes Willen :o Da wär ich ja nie drauf gekommen! Und ehrlich gesagt versteh ich auch nicht alles *gg* Also ich finde es nachvollziehbar.. aber das ist ja wahnsinnig verzwickt :/

Answer 2

Julian hat die Aufgabe sehr gut gelöst. Ich möchte deshalb hier etwas für die Zusatzaufgabe ansprechen.

^{[Solche Zusatzaufgaben sollten demnächst aber besser als eigenständige Frage formuliert werden, damit andere die ein ähnliches Problem haben, die Frage besser finden können, als, wenn diese nur als Kommentar zu einer bereits vorhandenen Aufgabe gestellt wird.]}

Es gibt genau zwei Geraden, die die Parabel y= x²+4x+1, als auch die Parabel y= -x² +4x-1 berühren.. Nun soll man die Gleichung der beiden Geraden herausfinden.

Meine Idee dazu wäre gewesen, die beiden Parabeln zu zeichnen und dann einen Punkt zu suchen wo eine Tangente liegen kann und daraus die Tangentengleichung zu ermitteln.

Das ist schon ein prima Ansatz. Immer wenn man sich die Graphen nicht vorstellen kann, sollte man mal eine Skizze machen. Wenn man die Graphen zeichnet, sieht man das sie symmetrisch liegen. Das wichtigste was man daraus ableiten kann ist das die Tangenten durch den Ursprung gehen. Man legt hier mal das Lineal an und sieht das es zwei Tangenten geben sollte. Ich habe mal die Graphen und die beiden vermuteten Tangenten eingezeichnet.

 

So. Nun kenne ich die beiden Funktionsgleichungen f(x) und g(x) und die Tangentengleichung t(x).

f(x) = x^2+4*x+1
g(x) = -x^2+4*x-1
t(x) = ax

Eine Tangente an eine Parabel hat immer nur einen Schnittpunkt mit der Parabel. Das könnte man sich zu nutze machen. Denn die Schnittpunkte errechne ich, indem ich die Funktionsgleichungen gleich setze.

f(x) = t(x)
x^2+4*x+1 = ax
x^2 + (4-a)x + 1 = 0

mit der abc-Lösungsformel ergibt sich die Lösung:

x = (-b +- Wurzel(b² - 4ac)) / 2a

Mir kommt es aber gar nicht so sehr auf die Lösung an. Ich nutze einfach nur die Kenntnis, das es nur eine Lösung geben darf und somit der Term unter der Wurzel (die Diskriminante) null sein muss.

b^2 - 4ac = 0

ich setze hier mal unsere Sachen die wir haben ein.

(4-a)^2 - 4*1 = 0
16 - 8a + a^2 - 4 = 0
a^2 - 8a + 12 = 0

Hier ergibt sich jetzt mit der abc-Lösungsformel die Lösung 

a = 2 und a = 6

Damit haben wir die Lösungen für unsere Tangenten:

t₁(x) = 2x
t₂(x) = 6x

Comments

Ah ja klar! Ich doofi hab alle beiden je in ein einzelnes Koordinatensystem gezeichnet .. Da hab ich das nicht gesehn. Aber so ist mir das klar! Vielen lieben dank!!!

Answer 3

Sorry: Meine Antwort war unsinnig, da ich den Aufgabentext nicht genau gelesen habe!