Quadratische Funktion quadratisch ergänzen

Question

Bringen Sie die folgenden quadratischen Funktionen auf die Form

$$f(x)=a(x+ß)^2+y$$ mittels quadratischer Ergänzung.

a) f(x)=2x^2-2x+2
b) f(x)=-x^2+3x-4

Lösungen:
a) f(x)=2(x-1/2)^2+3/2
b) f(x)=-(x-3/2)^2-7/4

Answer 1

Eine allgemeine Betrachung ergibt einen Formalismus

ein quadratischer Term

\(a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0\)

läßt sich zusammenfassen mit

\(\displaystyle a_2 \; \left(x + \frac{1}{2} \cdot \frac{a_1}{a_2} \right)^{2} + a_0 - \frac{a_1^{2}}{4 \; a_2}\)

a) \(2 \; \left(x + \frac{1}{2} \cdot \frac{-2}{2} \right)^{2} + 2 - \frac{\left(-2 \right)^{2}}{4 \cdot 2}\)

b) \(-1 \; \left(x + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{-1} \right)^{2} - 4 - \frac{3^{2}}{4 \; \left(-1 \right)}\)

Answer 2

f(x)=2x^2-2x+2

= 2(x^2-x+0,5^2-0,5^2+1)

=2(x-0,5)^2 +1,5

b) = -(x^2-3x+1,5^2-1,5^2) -4 = ...