Grenzwertuntersuchung für (2^n + n^2) / n!

Question

Hallo zusammen,

hier die Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge (an)n∈N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den
Grenzwert.

a_n = (2ⁿ + n²) / (n!)

Mein Ansatz:

lim n-> inf (2ⁿ + n²) / (n!) = lim n -> inf 2ⁿ / n! + lim n -> inf n^2 / n!

Ich würde hier nun zeigen, dass beide Summanden gegen 0 konvergieren. Reicht es dazu per Induktion zu beweisen, dass ab einem bestimmten Index der Nenner der Summanden größer ist als der jeweilige Zähler? z.B: zeige: 2ⁿ < n! für n>3. Ich komme sonst nicht darauf, wie man das mit ε beweisen soll. Also wie man zeigt, dass ∀ε>0: |0 - 2^n / n!| < ε

Comments

Dass \(\frac{2^n}{n!}\) eine Nullfolge ist, kannst du z.B. wie folgt zeigen: Für \(n>2\) gilt$$0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2\;\cdots\;2}{1\cdot2\cdot3\cdot4\;\cdots\;n}\le\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2\;\cdots\;2}{1\cdot2\cdot\underbrace{3\cdot3\;\cdots\;3}_{n-2\text{ Faktoren}}}=2\cdot\left(\frac23\right)^{n-2}\xrightarrow{\ n\to\infty\ }0.$$

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Danke für deine Antwort! Ich hätte nur die Frage, ob ich auf dieselbe Schlussfolgerung durch Induktion kommen kann, also jeweils
(i) 2^n < n! für n>3
(ii) n^2 < n! für n>3

zeigen kann, um auf die Schlussfolgerung zu kommen.

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Die Aussagen (i) und (ii) sind richtig. Das allein heißt aber nicht, dass \(\frac{2^n}{n!}\) und \(\frac{n^2}{n!}\) Nullfolgen sind.
Z.B. gilt auch \(n<n+1\), aber \(\frac n{n+1}\) konvergiert gegen \(1\).

Alternativ könntest du per Induktion über \(n\) zeigen, dass \(2^n<(n-1)!\) für alle \(n>5\) gilt.
Das hieße dann \(\frac{2^n}{n!}<\frac1n\), womit die Nullfolge gezeigt ist.

Answer 1

Kurz gesagt:

n^2 kann man vernachässigen, n! wächst schneller als 2^n -> lim = 0

Comments

Genau, das wäre meine Idee gewesen, für jeweils n^2 und 2^n zu zeigen, dass n! schneller wächst. Wie kann ich das jedoch formal beweisen? Denn das wird von uns verlangt. Meine Idee wäre halt das mit der Induktion, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob das so formell angenommen werden kann als Beweis dafür