$$\text{Seien } M \neq \emptyset \text { eine Menge, K ein Körper. Sei V:= Abb(M,K) die Menge aller Abbildungen von M nach K.}$$
$$\text{Seien f,g} \in V \text { und }\lambda \in K. \text { Wir definieren eine Addition und Skalarmultiplikation auf V wie folgt:}$$
$$(f+g)(m):= f(m)+_K g(m)\text{ für alle } m \in M$$
$$(\lambda \text { }\cdot\text { }f)(m):= \lambda\cdot_Kf(m)\text{ für alle } m \in M$$
a) $$\text{ Sei }o:M\rightarrow K \text{ die Nullabbildung, d.h. } o(m)=0_K \text{ für alle } m \in M. \text{ Zeigen Sie, dass } (V,o,+,\cdot) \text{ein K-Vektorraum ist.}$$
b) $$\text{Betrachten Sie die Menge } S:= \{e_m:m\in M\}\text{der Abbildungen } e_m:M\rightarrow K \text{ mit}$$
$$e_m(x)\left\{\begin{matrix}1_K \text{ für }x=m\\0_K \text{ für }x\neq m\end{matrix}\right.$$
$$\text{Zeigen Sie, dass S linear unabhängig ist.}$$
c) $$\text{Sei M endlich. Zeigen Sie, dass S eine Basis von V ist}$$
d) $$\text{ Sei M unendlich und sei } f:M\rightarrow K \text{ die Abbildung, die konstant den Wert } 1_K \text{ annimmt.}$$
$$\text{ Zeigen Sie, dass} f\notin L(S). \text{Folgern Sie, dass S keine Basis von V ist}$$
Wir sind jetzt schon weiter im Thema, ich hänge aber noch ziemlich hinterher und weiß garnicht, wo ich anfangen soll. Ich bin sehr dankbar für Tipps bzw. Ratschläge, in welchen Schritten ich das Ganze angehen kann.
