Beweis Primzahlen mit Modulo

Question

Hallo

ich sitze an folgender Aufgabe:
Seien p≠q ungerade Primzahlen. Zeigen Sie dass die Funktion p ↦ \( \frac{q}{p} \)  nur von der Restklasse von p modulo q bzw. 4q abhängt, je nach dem, ob q ≡ 1 oder 3 modulo 4 ist.

Ich weiß, dass \( \frac{p}{q} \)= \( \frac{q}{p} \), falls p ≡ 1 mod 4 oder q≡ 1 mod 4 oder eben beides.
Falls p ≡ q ≡ 3 mod 4, so ist \( \frac{p}{q} \)= - \( \frac{q}{p} \).
Aber wie gehts weiter??

Ich bin dankbar für jede Hilfe!!

Comments

Warum hast du die Legendre-Symbole ihrer Klammerung
beraubt ? So, wie du es geschrieben hast, ist es unverständlich !

Answer 1

Der Fall \(q\equiv 1\) mod \(4\) dürfte wohl klar sein.

Nun besagt eine Gestalt des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:

\(\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2\cdot (q-1)/2}\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{-1}{q}\right)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{q}\right)\).

Im Falle \(q\equiv 3\) mod \(4\) ist dies

\(=(-1)^{(p-1)/2}\cdot\left(\frac{p}{q}\right)\).

Der erste Faktor hängt von \(p\) mod \(4\), der zweite von \(p\) mod \(q\) ab.

Das Produkt hängt also nach dem chinesischen Restsatz nur von

\(p\) mod \(4q\) ab, da \(4\) und \(q\) relativ prim sind.