prüfe ob eine Funktion konvex/konkav ist, ohne die 2 Ableitung zu benutzen

Question

Aufgabe:

Wie könnte man prüfen ob eine Funktion konvex bzw. konkav ist, ohne das man die 2 Ableitung dafür benutzt?

Problem/Ansatz:

Hallo, ich hab ein kleines Problem, eine Aufgabe zu prüfen. Die Funktion x² z.b. sollte ja für alle x konvex seien. Ich habe probiert eine gradengleiching durch 2 beliebige Punkte zu erstellen, die dann im Intervall der 2 Punkte größer als die Funktion seien sollte. Leider konnte ich die entstandene Gleichung nicht lösen. Könnte mir wer helfen?

Danke im Voraus :D

Answer 1

Hallo

eine Gerade durch 2 Punkte (x1,x1^2) ( x2,x2^2) hat die Steigung (x^2-x1^2)/(x2-x1) mit der binomischen Formel oben kann man das kürzen. und eine Gerade mit bekannter Steigung durch (x1,x1^2) musst du doch wohl aufstellen können?

lul

Comments

" , die dann im Intervall der 2 Punkte größer als die Funktion seien sollte. "

Das dürfte das Problem sein.

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Stimmt, habe das mit  der binomischen Formel total übersehen, aber dann kommt auch mal eine leichte gerade raus. Damit hab ich das auch jetzt hinbekommen :D.

Danke für den Tipp

Answer 2

Ich habe probiert eine Geradengleichung durch 2 beliebige Punkte zu erstellen,

das gab wohl für (a;a^2) und (b;b^2) die Gerade mit a<b

y = (a+b)x - ba       Für a<x <b hat der Punkt auf der Strecke die Koo (x; (a+b)x-ab )

Bleibt zu zeigen (a+b)x - ab >   x^2

                     <=>  (a+b)x > x^2 + ab

                      <=>  ax + bx >  x^2 + ab

                  <=>  bx -ab  >  x^2 - ax

                         <=>  b(x -a)   >  x^2 - ax = x(x-a)   #

Wegen a<x <b ist (x-a) > 0 also # äquivalent zu

                           b > x , was auch erfüllt ist. q.e.d.

                      

Comments

Danke, so sieht meine Rechnung jetzt auch aus :D. Eigentlich ziemlich simpel.

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Wie würde das für f(x) = ΙxΙ gehen? Leider fällt mir das aufstellen der Geradengleichung schon schwer.  :(   @mathef

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Hallo

unterscheide und wenn konvex nur mit < geht sind Geraden also |x| nicht konvex sonst

a,b<0 , Gerade =f(x) ebenso a,b>0 also nur b>0a<0 und da ist es direkt für x<0 und x>0

lul

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f(x) = |x| konvex ?

Manche unterscheiden da noch zwischen

"konvex" und "streng konvex"

Alle Punkte einer Verbindungsstrecke zweier Punkte des Funktionsgraphen

liegen oberhalb (bzw. nicht unterhalb ) des Graphen.