Normalparabel aus zwei gegebenen Punkten bestimmen.

Question

Aufgabe:

Hey Leute, ich muss folgendes Problem lösen für meinen Nachhilfeschüler:

Wir haben eine Normalparabel f, welche durch die Punkte P(1|-1) und Q(2|2) geht. Nun soll f bestimmt werden.

Idee:

Also f hat ja die Form: f(x) = (x+d)^2 + e. Nun könnte man natürlich die 2 Punkte einsetzen und das LGS lösen. Aber da das erst 9. Klasse ist, haben sie LGS noch nicht behandelt. Und ich komme leider nicht auf einen Weg ohne LGS :D

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Zunahme von x um 1 vergrößert y um 3, also sind wir mit P(1|-1)

eine Einheit rechts vom Scheitelpunkt, somit ist der bei (0|-2).

==>  f(x) = (x+d)² + e = x^2 - 2

Probe zeigt: f(1) = 1-2 = -1  und f(2)=4-2 = 2 .  ✓

Comments

Alternativ kann man die Gerade \(g\) durch \(P\) und \(Q\) berechnen$$g(x)=\frac{Q_y-P_y}{Q_x-P_x}(x-P_x) + P_y \implies g(x)=3x-4$$und dazu die Normalparabel \(p\) addieren, deren Nullstellen bei \(P_x\) und \(Q_x\) liegen:$$p(x)=(x-P_x)(x-Q_x) \implies p(x)= x^2 -3x + 2$$die gesuchte Funktion \(f\) ist dann$$f(x)=g(x)+p(x)=x^2-2$$

https://www.desmos.com/calculator/6fjomdwf2w

Answer 2

Wir haben eine Normalparabel f, welche durch die Punkte P(1|-1) und Q(2|2) geht. Nun soll f bestimmt werden.

f(x)=a*x^2+b*x+c

Bei einer Normalparabel ist a=1

f(x)=x^2+b*x+c

P(1|-1):

f(1)=1^2+b*1+c=1+b+c=-1  →

1.) b+c=-2

Q(2|2):

f(2)=2^2+b*2+c=4+2b+c=2 →

2.)2b+c=-2

1.)-2.)

b+c=-2

2b+c=-2

..................

b-2b=-2-(-2)→-b=-2+2=0     →b=0   in 1.)  0+c=-2  → c=-2

f(x)=x^2-2

Answer 3

Wenn man das Thema Quadratische Funktionen und Quadratische Gleichungen in der Schule hat, dann hatte man bereits auch Lineare Funktionen und Lineare Gleichungen und auch Lineare Gleichungssysteme. Es sei denn, die Lehrkraft hat geschlampt. Aber vermutlich war der Schüler auch nur neue Kreide fürs Smartboard holen.

Also lineare Gleichungssysteme mit 2 unbekannten sollten machbar sein und mehr hat man hier auch nicht.

f(x) = x^2 + bx + c

f(1) = -1 → 1 + b + c = -1 --> b + c = -2
f(2) = 2 → 4 + 2b + c = 2 --> 2b + c = -2

Das Lösen des Gleichungssystems ergibt: b = 0 ∧ c = -2

Also ist die Parabel

f(x) = x^2 - 2