Punktmengen in komplexer Zahlenebene skizzieren

Question

folgende Aufgabe versuche ich gerade zu lösen:

Welche Punktmengen in der komplexen Zahlenebene werden durch

A = {z∈C | i·|z|=z*}
B = {z∈ℂ | i+Re\(( \frac{1}{z} \)) =z}

Meine Überlegungen zu A, es müsste ja bei einem Betrag etwas kreisförmiges rauskommen. Wenn ich für |z| und z* die Formeln einsetze würde ja dastehen:
i·\( \sqrt{x^2+y^2} \) = x-yi
Wäre dieser Ansatz richtig und wie würde es weitergehen?

Beste Grüße

Comments

Was ist z*?

Lorem Ipsum

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Das Komplement zu z, also x-yi

Answer 1

i·\( \sqrt{x^2+y^2} \) = x-yi  ✓

<=>  -x +  yi + i·\( \sqrt{x^2+y^2} \) = 0 = 0 + 0i

<=>  -x +  (y + \( \sqrt{x^2+y^2} \))i = 0 + 0i

Wegen der Eindeutigkeit der Darstellung komplexer Zahlen

in der Form a+bi mit a,b aus ℝ hats du x=0

und  y + \( \sqrt{y^2} \) = 0

<=>   y + |y| = 0 , Das gilt genau für alle y≤0.

Somit sind in der Menge die Punkte mit x=0 und y≤0.

Das ist die y-Achse von 0 aus abwärts.

Answer 2

Hallo,

ich habe Dir hier die Gauß'sche Zahlenebene und eine Punkt \(z\) (lila), sowie \(1/z\) (grün) und das Ergebnis der linken Seite$$\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right) + i = z$$also \(\operatorname{Re}(1/z)+i\) (in rot) dargestellt.

https://www.desmos.com/calculator/zyt4gnambq

Bewege \(z\) mit Maus. Wo muss der Punkt \(z\) hin, damit er mit dem roten Punkt zusammen fällt? Wann stimmt der Realteil und wann der Imaginärteil überein?

Die Rechnung dazu sähe so aus (erst denken dann gucken!)

[spoiler]

$$\begin{aligned} i+\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right) &= z &&|\,z=a+bi\\ i+\operatorname{Re}\left(\frac{1}{a+bi}\right) &= a+bi &&|\, a,b \in \mathbb{R}\\ i+\operatorname{Re}\left(\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}\right) &= a+bi \\ i+\operatorname{Re}\left(\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right) &= a+bi \\ {\color{blue}i}+\frac{a}{a^2+b^2} &= a+{\color{blue}bi} &&|\,\text{Koeffizientenvergleich}\\ \implies b&= 1 \\ \frac{a}{a^2+1^2} &= a &&|\,\cdot (a^2+1) \\ a &= a(a^2+1) \\ a &= a^3 + a &&|\, -a\\ 0 &= a^3 \\ \implies a &= 0 \\ \implies z&= i \end{aligned}$$

[/spoiler]

Gruß Werner