Zeigen Sie, dass f stetig und injektiv ist mit Bild f(R) = (−1,1).

Question

Aufgabe:

Sei die Funktion f : R → R gegeben durch f(x) = x / |x|+1 . Zeigen Sie, dass f stetig und injektiv ist mit Bild f(R) = (−1,1). Geben Sie die Umkehrfunktion f^−1 : (−1,1) → R zu f an. Hinweis: Betrachten Sie zunächst einzeln die Fälle, dass x positiv/negativ/Null ist.

Problem/Ansatz:

Wie soll man das lösen? Ich verstehe gar nicht, was man da machen soll. Kann mir da bitte jmd. helfen?

Comments

f(x) = x / |x|+1

Da fehlen Klammern.

Answer 1

Wie angegeben: Fallunterscheidungen:

1. Fall x>0.   Dann hat man f(x) =  x / (|x|+1)     Klammer vergessen ?

                                                  =  x / (x+1)  =    1 -  1 /(x+1)

ist dann also eine gebrochen rationale Funktion, somit stetig auf ]0;∞[

und injektiv, weil aus   1 - 1 /(a+1)  =   1 - 1 /(b+1)  folgt

                                            a+1 = b+1   also  a=b.

Für x gegen 0 ist der Grenzwert 0 und für x gegen ∞ ist es 1.

Also werden für x>0 alle Werte angenommen aus ]0;1[.

Wegen Stetigkeit und injektiv also auch jeder Wert genau einmal.

2. Fall x<0.   Dann hat man f(x) =  x / (|x|+1)    
                                                  =  x / (-x+1)  =    -1 + 1 /(-x+1) 
ist dann also eine gebrochen rationale Funktion, somit stetig auf ]-∞ ; 0 [.

Wie bei Fall 1 werden hier alle Werte aus ]-1;0[ angenommen.

3. Fall  x=0 , da ist f(0)=0. Der rechts- und linksseitige Grenzwert war

hier (s.o.)ja auch 0. Also ist f auch hier stetig und die 3 Wertebereiche

]-1 ; 0 [   ;  {0}  ;  ]0;1[   überschneiden sich nicht (bleibt also die gesamte

Funktion injektiv) und ergänzen sich zu ]-1 ; 1 [.   q.e.d.

Answer 2

\(f\) ist stetig, weil \(f\) eine Summe von stetigen Funktionen ist.

Zum Bild, sei \(x \in \mathbb{R}\). Begründe warum \(f(x)\in (-1,1)\) ist.

Zur Injektivität seien \(x_1, x_2\in \mathbb{R}\) mit \(f(x_1) = f(x_2)\). Begründe warum \(x_1 = x_2\) ist.

Für die Umkehrfunktion löse die Gleichung \(f(x) = y\) nach \(x\) auf.