Bild einer Abbildung, surjektiv, Kardinalität von Urbildern, injektiv, bijektiv

Question

Aufgabe:

$$\text{Wir betrachten die Abbildung:}\\f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}\cup\{♥\},m\mapsto\begin{cases}2m+1, & \text{falls } m > 0\\♥, & \text{falls } m = 0\\-(2m-1), & \text{falls } m < 0\end{cases}\\\text{(I) Bestimmen Sie das Bild }f(\mathbb{Z}) \text{ der Abbildung }f\text{. Ist }f\text{ surjektiv?}\\\text{(II) Berechnen Sie die Kardinalität der Urbilder }f^{-1}(\{n\})\text{ für beliebige Elemente } n \in f(\mathbb{Z}).\\\text{Ist }f\text{ aufgefasst als Abbilung von }\mathbb{Z} \text{ nach } f(\mathbb{Z})\text{ injektiv?}\\\text{(III) Geben Sie eine Teilmenge } M \subset \mathbb{Z} \text{ an, sodass }f|_M:M\rightarrow f(\mathbb{Z}) \text{ bijektiv wird.}$$

Frage:

Bei der (I) habe ich als das Bild(f)={3,5,7,9,...,♥} und das f nicht surjektiv ist, da wir nicht alle $$\mathbb{N}\cup\{♥\}$$ aus der Zielmenge treffen, wie zum Beispiel {1,2,4,6,...}. Ist das so korrekt?

Den Rest verstehe ich ehrlich gesagt nicht so wirklich...

Könnte mir bitte jemand helfen das zu verstehen?

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Bei der (I) habe ich als das Bild(f)={3,5,7,9,...,♥} und das f nicht surjektiv ist, da wir nicht alle $$\mathbb{N}\cup\{♥\}$$ aus der Zielmenge treffen, wie zum Beispiel {1,2,4,6,...}. Ist das so korrekt?  ✓

II   \(  f^{-1}({n})  \)  z.B. für n=3 ist das die Menge {1;-1}, also

Kardinalität = Anzahl der Elemente = 2

So ist es bei allen n∈ℕ und bei n=♥ ist es {0}, also card=1.

Wegen z.B. f(1)=f(-1) ist f nicht injektiv.

\(\text{Geben Sie eine Teilmenge } M \subset \mathbb{Z} \text{ an, sodass }f|_M:M\rightarrow f(\mathbb{Z}) \text{ bijektiv wird.}\)

Dazu muss man schauen was die Injektivität in II verhindert.

Die wird eigentlich nur dadurch verhindert, dass zwei ganze Zahlen

mit gleichem Betrag aber unterschiedlichen Vorzeichen das

gleiche Bild haben.  Lassen wir also z.B alle negativen Zahlen weg,

dann wäre das behoben. Also Vorschlag M=ℕ.

Comments

Super, vielen Dank!

Ich hätte vielleicht noch eine generelle Frage zum Urbild und der Kardinalität:

Wenn die Aufgabenstellung geheißen hätte "Berechnen Sie die Kardinalität der Urbilder f^-1({n}) für beliebige Elemente n in Z" dann wäre z.B. bei der n=1 die leere Menge rausgekommen und wir hätten dort Kardinalität = 0 , oder?

Also:

$$x \in \{1,2,4,6,...\}\\f^{-1}(x) = \{\} = \text{ Kardinalität } = 0$$ Ist das korrekt? Die Aufgabenstellung gibt diese Frage zwar nicht her, aber das dient lediglich zu meinem Verstandnis.

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Ja, das wäre dann korrekt.

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Alles klar. Vielen Dank :)