Aufgabe:
Jede natürliche Zahl n ∈ N mit n ungleich 1 hat einen Vorgänger m ∈ N mit m + 1 = n
Um zu beweisen, dass jede natürliche Zahl n ∈ N (wobei n ungleich 1) einen Vorgänger m ∈ N hat, für den m + 1 = n gilt, können wir dies durch vollständige Induktion zeigen. Der Beweis gliedert sich in zwei Schritte: Basisfall und Induktionsschritt.
Basisfall: Zeigen wir zuerst, dass die Aussage für n = 2 wahr ist. In diesem Fall ist n = 2, und wir müssen zeigen, dass es eine natürliche Zahl m gibt, für die m + 1 = 2. Die einzige solche Zahl ist m = 1, und sie erfüllt die Bedingung m + 1 = 2. Der Basisfall ist also bewiesen.
Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gilt für eine natürliche Zahl k, d.h., es gibt eine natürliche Zahl m, für die m + 1 = k. Wir müssen zeigen, dass die Aussage dann auch für k + 1 gilt, d.h., es gibt eine natürliche Zahl p, für die p + 1 = k + 1.
Nach unserer Annahme gibt es eine natürliche Zahl m, für die m + 1 = k. Um den Induktionsschritt abzuschließen, können wir m verwenden, um p zu definieren. Wir setzen p = m + 1. Nun müssen wir zeigen, dass p + 1 = k + 1:
p + 1 = (m + 1) + 1 = m + 2
Aber wir wissen, dass m + 1 = k, also m = k - 1. Setzen wir dies ein:
p + 1 = (k - 1) + 2 = k + 1
Da p + 1 = k + 1, haben wir gezeigt, dass die Aussage für k + 1 gilt.
Da wir den Basisfall und den Induktionsschritt gezeigt haben, schließen wir, dass für jede natürliche Zahl n ∈ N (n ungleich 1) einen Vorgänger m ∈ N gibt, für den m + 1 = n gilt. Dies zeigt, dass die Aussage durch vollständige Induktion bewiesen ist.
Stimmt meine Lösung?
