Beweisen, dass für jede natürliche Zahl gilt GM(.....

Question

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. 

Man legt einen Betrag $$ { W }_{ 0 } $$ und beobachtet jeweils den Wert $$ { W }_{ k } $$ der Anlage nach k Jahren.                          

$$ { x }_{ k } $$=$$ \frac { { W }_{ k } }{ { W }_{ k-1 } }  $$  

bezeichnet den Aufzinsungsfaktor im k ten Jahr.

Ich muss beweisen dass für jede natürliche Zahl n gilt:

GM(x_1,....,x_n)^n =$$ \frac { { W }_{ n } }{ { W }_{ 0 } }  $$   

Answer 1

Hi, das geometrische Mittel für die Folge \( x_k \) ist definiert als

$$  \sqrt [n] { \prod_{k=1}^nx_k } $$

Setzte jetzt für \( x_k=\frac{W_k}{W_{k-1}} \) ein, dann sieht der Term unter Wurzel so aus

$$ \frac{W_1}{W_{0}} \cdots \frac{W_n}{W_{n-1}} $$ und es kürzen sich alle Faktoren von \( W_1 \) bis \( W_{n-1} \) raus und es bleibt nur noch \( \frac{W_n}{W_0} \) übrig.

Da Du alles noch hoch \( n \) nehmen musst hast Du damit das Ergebnis.