Beweisen, dass Cantormenge monoton wachsend ist

Question

!! Ich brauche Hilfe zur Aufgabe.:

Zeigen Sie, dass die Cantorfunktion, eingeschränkt auf die Cantormenge, monoton wachsend ist.

Ich sitze schon seit 1 Woche daran und trotzdem zu keinem Ergebnis gekommen. Vielleicht kann jemand mir helfen.

Cantorfunktion ist eine Fuktion f->[0,1]. Cantormenge entsteht dadurch, dass das mittlere Drittel des Intervalls [0,1] weggestrichen wird. Von den gebliebenen Intervalle wird jeweils das mittlere Drittel auch weggestrichen, usw. Der Schnitt aller gebliebenen Intervallen nach jeder Iteration ist Cantormenge.

Aber wie kann ich die Behauptung zeigen?

Answer 1

Dem Fragesteller wird es zwar nichts mehr nutzen, dafür vielleicht jemanden in der Zukunft ☺. Das die Cantor-Funktion monoton wachsend ist könnte man wie folgt beweisen (φ=f)!

Seien \( x, y \in C \) mit \( x<y \). Dann gibt es zunächst eindeutig bestimmte Darstellungen
\( \begin{array}{l} x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{3^{k}} \\ y=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{b_{k}}{3^{k}} \end{array} \)
mit \( a_{k}, b_{k} \neq 1 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \). Die Menge \( A:=\left\{k \in \mathbb{N} \mid a_{k} \neq b_{k}\right\} \) ist wegen \( x \neq y \) nichtleer und besitzt somit nach dem Wohlordnungsprinzip ein Minimum \( m= \) min \( A \). Wäre \( a_{m}>b_{m} \) und damit \( a_{m}=2, b_{m}=0 \), so erhielten wir:
\( \begin{aligned} y & =\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{b_{k}}{3^{k}}+\sum \limits_{k=m+1}^{\infty} \frac{b_{k}}{3^{k}} \leq \sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{b_{k}}{3^{k}}+\sum \limits_{k=m+1}^{\infty} \frac{2}{3^{k}}=\left(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{a_{k}}{3^{k}}\right)+\frac{1}{3^{m}} \\ & <\left(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{a_{k}}{3^{k}}\right)+\frac{2}{3^{m}}=\sum \limits_{k=1}^{m} \frac{a_{k}}{3^{k}} \leq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{3^{k}}=x, \end{aligned} \)

Widerspruch! Also muss \( a_{m}<b_{m} \) und damit \( a_{m}=0, b_{m}=2 \) sein. Daraus folgt
\( \begin{aligned} \varphi(x) & =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}=\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}+\sum \limits_{k=m+1}^{\infty} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}} \leq \sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}+\sum \limits_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \\ & =\left(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{m+1}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}\right)+\frac{1}{2^{m}} \\ & =\left(\sum \limits_{k=1}^{m-1} \frac{\frac{a_{k}}{2}}{2^{k}}\right)+\frac{\frac{b_{m}}{2}}{2^{m}}=\sum \limits_{k=1}^{m} \frac{\frac{b_{k}}{2}}{2^{k}} \leq \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\frac{b_{k}}{2}}{2^{k}}=\varphi(y) \end{aligned} \)
und somit ist die Cantor-Funktion monoton wachsend.