Beweisen Sie Die Funktion R → R, x→ a^x ist für a > 1 streng monoton wachsend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

a) Die Funktion ℝ → ℝ, x→ a^x ist für a > 1 streng monoton wachsend und für 0 < a < 1 streng monoton fallend.

Danke schon mal für die Antworten!

Answer 1

f(x) = a^x
a wird x-mal mit sich selbst multipliziert
Falls a > 1 dann wird
Beispiel
1.1 * 1.1 * 1.1 immer größer werden : wachsend
Falls 0 < a < 1 dann ist  die Funktion fallend
0.9 * 0.9 * 0.9 : der Funktionswert wird stets kleiner

Comments

a wird x-mal mit sich selbst multipliziert.

Wie erklärst du das für den Exponenten x=3,52734?

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Hallo, danke für die Antwort. Wie zeige ich sowas allgemein?

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Wird eine Zahl > 1 mit sich selbst multipliziert
kommt eine größere Zahl heraus
wird die Zahl 1 mit sich selbst multipliziert
kommt immer 1 heraus
Wird eine Zahl 0 < Zahl <1 mit sich selbst multipliziert
kommt eine kleinere Zahl heraus

Wie das jetzt abstrakt zu beweisen ist weiß ich
nicht.

Answer 2

Falls es eine Aufgabe im Rahmen der Differenzialrechnung ist:

Beweise, dass für a>1 die erste Ableitung an jeder Stelle positiv ist.

Falls Ableitungen noch nicht bekannt sind:

Beweise im Fall a>1,

dass aus y>x stets \( \frac{a^y}{a^x} >1 \) folgt

ODER beweise

dass aus y>x stets \( a^y-a^x >0 \) folgt.

Comments

hat jemand vielleicht eine idee mit a^x = exp(xlna) ?    

            

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Ja, a^x kann man tatsächlich als \(e^{x*ln(a)}\) schreiben.

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hast du vielleicht eine Idee, wie man das damit Allgemein beweisen kann? Ich komme da leider echt nicht weiter

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Auf welchem der (mehreren) vorgeschlagenen Lösungswege bist du auf dieses (ohne Klärung zusammenhanglose) Bruchstück gestoßen?