Text erkannt:
A 2.8.21 Zeige die folgenden Aussagen für alle Vektorräume \( V \), für alle \( n \geq 0 \), für alle \( m \geq 2 \), für alle Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) und für alle Unterräume \( U_{1}, \ldots, U_{m} \) :
(a) Die Familie \( \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) ist genau dann l.u., wenn für alle \( i \in\{1, \ldots, n\} \) gilt: \( v_{i} \notin\left[\left\{v_{j}: j<i\right\}\right] \).
Text erkannt:
(b) Die Summe \( U_{1}+\cdots+U_{m} \) ist genau dann eine direkte Summe, wenn für alle \( i \in\{1, \ldots, m\} \) gilt:
\( U_{i} \cap \sum \limits_{j=1}^{i-1} U_{j}=\{0\} . \)
(Wie üblich wird die leere Summe \( \sum \limits_{j=1}^{0} U_{j} \) als \( \{0\} \) definiert, und die Summe \( \sum \limits_{j=1}^{1} U_{j} \), die nur den einen Summanden \( U_{1} \) enthält, als \( U_{1} \).)
Aufgabe:
