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A 3.2.1 Welche der folgenden Abbildungen \( f: K^{3 \times 1} \rightarrow K^{2 \times 1} \) sind linear? Bestimme für eine lineare Abbildung \( f \) auch Basen von ker \( f \) und \( f\left(K^{3 \times 1}\right) \).
(a) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, 0\right)^{\mathrm{T}} \) für \( K=\mathbb{R}, \mathbb{Z}_{2} \).
(b) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(x_{1}, \bar{x}_{2}\right)^{\mathrm{T}} \) für \( K=\mathbb{C} \).
(c) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(0, x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \) für beliebiges \( K \).
(d) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(1, x_{1}\right)^{\mathrm{T}} \) für beliebiges \( K \).
(e) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(x_{1}, x_{1}+x_{2}\right)^{\mathrm{T}} \) für beliebiges \( K \).
(f) \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}} \mapsto\left(x_{1}, x_{1}\right)^{\mathrm{T}} \) für beliebiges \( K \).
b)c)d)e)
