Zeige a^r > 1 für a>1, r>0

Question

Aufgabe:

Es sei r ∈ ℚ. Zeige
1.) für a>1 und r>0 gilt a^r > 1

2.) für 0 < a < 1 und r > 0 gilt a^r < 1

Problem/Ansatz:

Dass r aus ℚ ist bedeutet ja, dass man es als \( \frac{m}{n} \) schreiben kann. Demnach ist a^r = a^{\( \frac{m}{n} \)} =\( \sqrt[n]{a^m} \). Jetzt hab ich das zwar umgeformt, jedoch muss ich jetzt statt a^r > 1 zeigen, dass a^m > 1 ist. Somit hat mir das Ganze nichts gebracht und nun weiß ich nicht weiter :(

Answer 1

a>1 ==> a^m > 1 mit m∈ℕ

kannst du über Induktion beweisen:

Induktionsschritt in der Art:

a^m > 1 | *a

==>  a^(m+1) > a > 1 .