Sind die beiden Reihen konvergent?

Question

Aufgabe:

Untersuche die beiden Reihen auf Konvergenz

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{e^{n^{2}}} \)

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)} \)

Text erkannt:

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{e^{n^{2}}} \)

Answer 1

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac n{e^{n^2}} \)

Wurzelkriterium: (Beachte: \(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n] n = 1 \))

$$\sqrt[n]{\frac n{e^{n^2}}} = \frac{\sqrt[n]{n}}{e^{n}}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}0 <1$$

Reihe konvergent.

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{\binom{2n}{n}} \)

Quotientenkriterium: (Beachte: \(\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \) )

Mit \(a_n = \frac 1{\binom{2n}{n}}\) erhältst du

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}\frac 14 < 1$$

Reihe konvergent.

Answer 2

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n}{e^{n^{2}}} \)

Es ist für n>2   \(e^{n^{2}} = e^{n \cdot n} =( e^{n } )^n > 4^n  \)

Also \(   \frac{n}{e^{n^{2}}} \lt \frac{n}{4^n}=\frac{n}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n} \lt  \frac{1}{2^n} =  (\frac{1}{2})^n \)

Damit ist die geometrische Reihe mit q=0,5 eine konvergente Majorante.

\(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)} \)

Mit der "Vandermondesche Identität" hat man

\(  \left(\begin{array}{c}2 n \\ n\end{array}\right)  = \sum \limits_{j=0}^{n}   \left(\begin{array}{c} n \\ j\end{array}\right) ^2  \)

Wenn man die Quadrate weglässt

\(   \ge   \sum \limits_{j=0}^{n}  \left(\begin{array}{c} n \\ j\end{array}\right) = 2^n  \)

Also ist auch hier die geometrische Reihe mit q=0,5 eine konvergente Majorante.