Zeige: Wird zusätzlich dim V = n ∞ vorausgesetzt, so gilt def f ≥ n/k

Question

Es seien V ein Vektorraum und f ∈ L(V, V) eine nilpotente Abbildung, d. h., für mindestens
ein k ∈ N^× (ohne die Null) ist f^k die Nullabbildung. Dabei sind die Potenzen von f rekursiv durch f^0 := id_V und
f m := f ◦ f ^(m−1) für alle m ∈ N× erklärt. Gleiches gilt sinngemäß für die Potenzen von Matrizen aus K^n×n.
(a) Zeige: Wird zusätzlich dim V = n < ∞ vorausgesetzt, so gilt def f ≥ n/k
(b) Gib zwei Matrizen A1, A2 ∈ R^(3×3) an, die nilpotente lineare Abbildungen R^(3×1) → R^(3×1) bestimmen
(nilpotente Matrizen). Als Zusatzbedingungen seien A1 ≠(0), A²₁ = (0) bzw. A²₂≠ (0) aufgestellt

Bei a) Es gilt ja, dass dim (V) endlich ist. Und wie zeigt man, dass def f:= dim ker f >= n/k ist.

Bei (b) wüsste ich auch nicht wirklich weiter.

Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Nur so eine Idee:

Sei \(B_0 = \emptyset\).

Für jedes \(i\in \{1,\dots,k\}\) sei \(B_i\) eine Basis von \(\operatorname{ker}f^i\) mit \(B_{i-1}\subseteq B_{i}\).

Dann ist \(\left|B_k\right| = n\). Also gibt es ein \(i\in \{1,\dots,k\}\) mit \(\left|B_i\setminus B_{i-1}\right| \geq \frac{n}{k}\).

Comments

bei b) hätte ich mir gedacht, dass man sich die Standardbasis nehmen kann und somit gilt f(1,0,0) =(0,1,0)  f(0,1,0) = (0,0,1), f(0,0,1) = 0. Oder wie bestimmt man sonst Matrixen einer nilpotenten lin. Abbildung?

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dass man sich die Standardbasis nehmen kann und somit gilt f(1,0,0) =(0,1,0)  f(0,1,0) = (0,0,1), f(0,0,1) = 0.

Dann ist f² ≠ 0 und f³ = 0. Die zugehörige Abbildungsmatrix wäre dann ein Kandidat für A₂.

Oder wie bestimmt man sonst Matrixen einer nilpotenten lin. Abbildung?

Genau so wie du es gemacht hast, nur mit einer anderen Basis.