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Aufgabe:

Bestimme die Schnittwinkel und Schnittgerade


Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bei zwei Aufgaben ganz dringend Hilfe.

E1: X1-X2+2•X3=7

E2: 6X1+X2-X3=-7

Wie genau berechne ich das ganze jetzt?

Hab schon mehrere Sachen ausprobiert, aber irgendwie verstehe ich es nicht

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Titel: Bestimme die Schnittwinkel und Schnittgerade

Stichworte: vektoren

Aufgabe:

Bestimme die Schnittwinkel und Schnittgerade


Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bei zwei Aufgaben ganz dringend Hilfe.

E1: X1-X2+2•X3=7

E2: 6X1+X2-X3=-7

Wie genau berechne ich das ganze jetzt?

Hab schon mehrere Sachen ausprobiert, aber irgendwie verstehe ich es nicht

1 Antwort

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Hallo,

fasse die beiden Ebenen als Gleichungssystem auf und addiere sie.

Dann erhältst du 7x+z=0z=7x7x+z=0\Rightarrow z = -7x

Um auch y in Abhängigkeit von x auszudrücken, setzt du -7x für z in die Gleichung von E2 ein und erhältst y=13x7y=-13x-7

Damit haben wir einen "Hilfsvektor" (xyz)=(x13x77x)\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-13x-7\\-7x \end{pmatrix}.

Ersetze x durch r als Parameter für die Geradengleichung (r13r77r)\begin{pmatrix} r\\-13r-7\\-7r \end{pmatrix} und die Summanden mit r (rot) von denen ohne r (blau). (r+013r77r+0)\begin{pmatrix} \red r+\blue 0\\\red{-13r}\blue{-7}\\\red{-7r}+\blue 0 \end{pmatrix}

Die blauen ergeben den Ortsvektor der Schnittgeraden, die roten den Richtungsvektor.

g :   x=(070)+r(1137)g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-7\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-13\\-7 \end{pmatrix}


Der Schnittwinkel α \alpha zweier Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren n \overrightarrow{\mathrm{n}} und m \overrightarrow{\mathrm{m}} :
cosα=nmnm \cos \alpha=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{n}} \circ \overrightarrow{\mathrm{m}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{m}}|}

n=(112)m=(611)cosα=61212+(1)2+2262+12+(1)2=3257α=cos1(3257)=78,54°\vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}\quad \vec{m}=\begin{pmatrix} 6\\1\\-1 \end{pmatrix}\\ \displaystyle \cos\alpha =\frac{6-1-2}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{2\sqrt{57}}\\ \alpha=cos^{-1}(\frac{3}{2\sqrt{57}})=78,54°

Gruß, Silvia

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