Hallo,
fasse die beiden Ebenen als Gleichungssystem auf und addiere sie.
Dann erhältst du \(7x+z=0\Rightarrow z = -7x\)
Um auch y in Abhängigkeit von x auszudrücken, setzt du -7x für z in die Gleichung von E2 ein und erhältst \(y=-13x-7\)
Damit haben wir einen "Hilfsvektor" \(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-13x-7\\-7x \end{pmatrix}\).
Ersetze x durch r als Parameter für die Geradengleichung \(\begin{pmatrix} r\\-13r-7\\-7r \end{pmatrix}\) und die Summanden mit r (rot) von denen ohne r (blau). \(\begin{pmatrix} \red r+\blue 0\\\red{-13r}\blue{-7}\\\red{-7r}+\blue 0 \end{pmatrix}\)
Die blauen ergeben den Ortsvektor der Schnittgeraden, die roten den Richtungsvektor.
\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-7\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-13\\-7 \end{pmatrix}\)
Der Schnittwinkel \( \alpha \) zweier Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \( \overrightarrow{\mathrm{n}} \) und \( \overrightarrow{\mathrm{m}} \) :
\( \cos \alpha=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{n}} \circ \overrightarrow{\mathrm{m}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{m}}|} \)
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\(\vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}\quad \vec{m}=\begin{pmatrix} 6\\1\\-1 \end{pmatrix}\\ \displaystyle \cos\alpha =\frac{6-1-2}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}\cdot \sqrt{6^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{2\sqrt{57}}\\ \alpha=cos^{-1}(\frac{3}{2\sqrt{57}})=78,54°\)
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Gruß, Silvia
