Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 7: Grenzwerte von Funktionen
Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen (ohne Verwendung der Differentialrechnung und der Grenzwertregel von de I'Hospital).
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{-3 x+4}{6 x} \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-5 x+16}{3 x^{2}-5} \)
c) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{x-5} \)
d) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+2}{-4 x^{2}+x} \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

a) Kürze mit x

b) Kürze mit x^2

c) siehe a)

d) Kürze mit x^3

Oder betrachte nur x^3, es wächst am schnellsten.

Answer 2

Aloha :)

$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-3x+4}{6x}\stackrel{(\div x)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-3+\frac4x}{6}\to\frac{-3+0}{6}=-\frac12$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-5x+16}{3x^2-5}\stackrel{(\div x^2)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1-\frac5x+\frac{16}{x^2}}{3-\frac{5}{x^2}}=\frac{1-0+0}{3-0}=\frac13$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3}{x-5}\stackrel{(\div x)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac3x}{1-\frac5x}=\frac{0}{1-0}=0$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3+2}{-4x^2+x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac {x}{-4}\cdot\frac{x^2+\frac2x}{x^2-\frac x4}\right)\stackrel{(\div x^2)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac {x}{-4}\cdot\frac{1+\frac{2}{x^3}}{1-\frac {1}{4x}}\right)\to(-\infty)\cdot1=-\infty$$