Bestimmen Sie die entsprechenden Ableitungen.

Question

Zeigen Sie direkt mit der Differenzierbarkeit, dass die Funktionen

\( f_{1}(x)=\frac{1}{x}, \quad f_{2}(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}, \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}, \)
in allen \( x_{0} \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) differenzierbar sind und bestimmen Sie die entsprechenden Ableitungen.

Answer 1

Schreibe die Funktionsterm um:

\( \frac{1}{x} \) = x^-1, \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)=x^-1/2  und leite ab, wie gewohnt.

Answer 2

"direkt mit der Differenzierbarkeit" soll wohl heißen:  \( \lim \limits_{h \rightarrow 0}  \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) \)

Also im ersten Fall für x≠0 zu betrachten:

\( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{ \frac{1}{x+h}- \frac{1}{x}}{h} =\frac{ \frac{x-(x+h)}{x(x+h)} }{h} = \frac{ \frac{-h}{x(x+h)} }{h} = \frac{-1}{x(x+h)} \)

Also für h gegen 0 gibt es  \(f ' (x) =  \frac{-1}{x^2} \).