Erst einmal sollte es wohl \(f : \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\to\mathbb{R}\) statt \(f : \left(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{12}\right)\to\mathbb{R}\) lauten. Denn es ist \(-\frac{5}{12}<-\frac{1}{4}\), weshalb \(\left(-\frac{1}{4}, -\frac{5}{12}\right)=\emptyset\) die leere Menge wäre.
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Verwende die Summenformel für geometrische Reihen ...
Für \(\left\lvert q\right\rvert<1\) ist \(\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}\text{.}\)
... für \(q = 12 x +4\).
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Für alle \(x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\) ist \(12 x + 4 > 12\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)+4 = -5 + 4 = -1\) und \(12 x + 4 < 12\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)+4 = -3 + 4 = 1\) und damit \(\left\lvert12 x + 4\right\rvert<1\text{.}\)
Mit der Formel für die geometrische Reihe erhält man demnach \(\sum_{k = 0}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = \frac{1}{1-\left(12 x + 4\right)} = \frac{1}{-12x - 3}\) für alle \(x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\).
Damit erhält man \(\begin{aligned}f(x) & = \sum_{k = 1}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = \underbrace{-\left(12x + 4\right)^0}_{=-1} +\left(12x + 4\right)^0 + \sum_{k = 1}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k \\& = -1 + \sum_{k = 0}^{\infty}\left(12 x + 4\right)^k = -1 + \frac{1}{-12 x - 3}\end{aligned}\) für alle \(x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\).
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Damit hat man nun \(f(x) = -1 + \frac{1}{-12 x - 3}\) für alle \(x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\).
Das kann man nun wie gewohnt ableiten.
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Für alle \(x\in \left(-\frac{5}{12}, -\frac{1}{4}\right)\) ist \(f'(x) = 0+ \frac{0\cdot \left(-12 x - 3\right) - 1\cdot \left(-12\right)}{{\left(-12 x - 3\right)}^2} = \frac{12}{\left(-12 x - 3\right)^2}\text{.}\)
Damit ist dann \(\begin{aligned}f'\left(-\frac{11}{36}\right) & = \frac{12}{\left(-12\cdot\left(-\frac{11}{36}\right) - 3\right)^2} = \frac{12}{\left(\frac{11}{3} - 3\right)^2} \\ & = \frac{12}{\quad\left(\frac{2}{3}\right)^2\quad} = \frac{12}{\quad\frac{4}{9}\quad} = 12\cdot\frac{9}{4} = 27\text{.}\end{aligned}\)
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