Bijektion und Homöomorphismus zeigen

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ∪{-∞,∞} → [-1,1], f(x) = x/(1+|x|) für x∈ℝ, f(-∞) = -1, f(∞) = 1
Sei d'(x,y) = d(f(x),f(y)) eine Metrik auf ℝ∪{-∞,∞}, wenn d: ℝ×ℝ → ℝ, d(x,y) = |x-y|

Zeige:
(i) f ist eine Bijektion
(ii) f ist Homöomorphismus zwischen (ℝ∪{-∞,∞},d') und ([-1,1],d_[-1,1]2)

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Answer 1

Bijektion geht wohl so:

Es ist f eingeschränkt auf ℝ streng monoton steigend,

denn : Sei a<b ==> f(a) < f(b)

Das kann man durch Fallunterscheidung beweisen.

Und wegen \(  \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 1  \)

und \(  \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -1  \) ist

f eingeschränkt auf ℝ eine Bijektion von ℝ nach ]-1 ; 1[.

Mit f(-∞) = -1, f(∞) = 1 also von ℝ∪{-∞,∞} auf [-1,1].

Comments

Vielen Dank ! Hast du noch einen Tipp für die (ii)?