Aloha :)
$$\begin{array}{rrrr|r|l}x & y & z & w & = &\text{Operation}\\\hline2 & 1 & 0 & 3 & 0 &-2\cdot\text{Gl. 4}\\-1 & 3 & -1 & 4 & -1 &+\text{Gl. 4}\\2 & 4 & -1 & 9 & 0 &-2\cdot\text{Gl. 4}\\1 & 0 & 0 & 2 & 1 &\\\hline0 & 1 & 0 & -1 & -2 &\\0 & 3 & -1 & 6 & 0 &-3\cdot\text{Gl. 1}\\0 & 4 & -1 & 5 & -2 &-4\cdot\text{Gl. 1}\\1 & 0 & 0 & 2 & 1 &\\\hline0 & 1 & 0 & -1 & -2 &\\0 & 0 & -1 & 9 & 6 &\cdot(-1)\\0 & 0 & -1 & 9 & 6 &-\text{Gl. 2}\\1 & 0 & 0 & 2 & 1 &\\\hline0 & 1 & 0 & -1 & -2 &\Rightarrow y=-2+w\\0 & 0 & 1 & -9 & -6 &\Rightarrow z=-6+9w\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\\1 & 0 & 0 & 2 & 1 &\Rightarrow x=1-2w\end{array}$$
Wir "verlieren" eine Gleichung, die immer erfüllt ist, sodass wir für die 4 Variablen nur 3 Bedingungen haben. Die Lösung ist daher nicht eindeutig. Wir geben alle Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2w\\-2+w\\-6+9w\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\-6\\0\end{pmatrix}+w\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\9\\1\end{pmatrix}$$
