Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie: f(x)=x+(1/x)

Question

a) f(x)=x⁵+x³

b) f(x)=x⁴+x

c) f(x)=x+(1/x), x>0

Answer 1

a) f(x)=x⁵+x³

f'(x) = 5·x^4 + 3·x^2

f'(x) ist durch die quadrate immer >= 0 damit monoton steigend.

b) f(x) = x⁴+x

f'(x) = 4·x^3 + 1

f'(x) >= 0
4·x^3 + 1 >= 0
x ≥ -2^{1/3}/2 = -0.6299605249

Für x >= -2^{1/3}/2 monoton steigend ansonsten monoton fallend

c) f(x) = x+(1/x), x>0

f'(x) = 1 - 1/x^2

f'(x) >= 0
1 - 1/x^2 >= 0
x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

Für x ≤ -1 ∨ x ≥ 1 also monoton steigend. Für andere x monoton fallend.

Comments

Ich hab' nicht ganz verstanden :((

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Was hast du nicht verstanden?

Answer 2

a)

x⁵ ist streng monoton steigend. x³ ist streng monoton steigend.

Wenn du für x immer größere Werte einsetzt und auch immer größere Werte rausbekommst, ist die Funktion steigend auf der Y-Achse. Kriegst du für immer größere Werte immer kleinere Werte, dann ist sie fallend auf der Y-Achse

 

Defintion streng monoton steigend:

Wenn x1 < x2, dann muss gelten f(x1) < f(x2)

 

Definition streng monoton fallend:

Wenn x1 < x2, dann muss gelten f(x1) > f(x2)