Hallo!
Aufgabe: Könnt ihr mir wieder eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen richtig sind?
Es handelt sich wieder um komplexe Zahlen bzw. Polardarstellung, Betrag und Argument.
Problem/Ansatz:
c) \( (-2+i \sqrt{12}) 2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)
\( |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(\sqrt{12})^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4 \quad \frac{11}{\underline{x}} \)
\( \arg (z)=+\arccos \left(\frac{-2}{4}\right)=\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3} \)
\( z=4 \cdot e^{i \frac{2 \pi}{3}} \quad \frac{4 \pi}{6}-\frac{3 \pi}{6}=\frac{\pi}{6} \)
\( \Rightarrow(-2+i \sqrt{12}) \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right)=4 \cdot e^{i \frac{2 \pi}{3}} \cdot 2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \)
\( =8 \cdot e^{\frac{\pi}{6} i} \)
\( =8 \cdot\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \)
a) \( (\sqrt{12}-2 i)\left(4 e^{-i \frac{3 \pi}{2}}\right) \quad \sqrt{4 \cdot 3}=\frac{\sqrt{k} \cdot \sqrt{3}}{42}= \)
\( |z|=\sqrt{(\sqrt{12})^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16}=4 \)
\( \arg (z)=-\arccos \left(\frac{\sqrt{12}}{4}\right)=-\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( =-\frac{\pi}{6} \)
\( z=4 \cdot e^{-\frac{\pi}{6} i} \)
\( \Rightarrow(\sqrt{12}-2 i)\left(4 e^{-i \frac{3 \pi}{2}}\right)=\left(4 e^{-\frac{\pi}{6} i}\right)\left(4 e^{-i^{\frac{3 \pi}{2}}}\right) \)
\( =16 \cdot e^{\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{3 \pi}{2}\right) i} \)
\( =16 \cdot e^{-\frac{10 \pi}{6}} i=16 \cdot e^{-\frac{5}{3} i} \)
K)
\( (-i \sqrt{3})\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( |z|=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2 \)
\( \arg (z)=-\arccos \left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{2} \)
\( z=2 \cdot e^{-\frac{\pi}{2} i} \)
\( \Rightarrow(1-i \sqrt{3}) \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right)=2 e^{-\frac{\pi}{2} i} \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( =4 e^{\frac{-2 \pi}{2} i}=4 e^{-\pi i} \)
f) \( (\sqrt{3}-i)\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4}=2 \)
\( \arg (z)=-\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi}{6} \)
\( z=2 \cdot e^{-\frac{\pi}{6} i} \)
\( (\sqrt{3}-i) \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right)=\left(2 \cdot e^{-\frac{\pi}{6} i}\right)\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( =4 \cdot e^{\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right) i} \)
\( =4 \cdot e^{-\frac{4 \pi}{6} i}=4 \cdot e^{-\frac{2 \pi}{3} i} \)
\( g)(-1+i \sqrt{3})\left(4 e^{-i \frac{3 \pi}{2}}\right) \)
\( \begin{array}{l}|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2 \\ \arg (z)=+\arccos \left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3} \\ z=2 \cdot e^{\frac{2 \pi}{3} i}\end{array} \)
\( \begin{aligned}(-1+i \sqrt{3})\left(4 e^{-i \frac{3 \pi}{2}}\right) & =\left(2 \cdot e^{\frac{2 \pi}{3} i}\right)\left(4 e^{-i \frac{3 \pi}{2}}\right) \\ & \left.=8 e^{\left(\frac{2 \pi}{3}\right.}-\frac{3 \pi}{2}\right) i \\ & =8 e^{-\frac{5 \pi}{6}} i \\ & =8\left(\cos \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\end{aligned} \)
