Aloha :)
Alle Vektoren aus \(U\) erfüllen die Bedingung$$x_2-2x_3+x_4=0\quad\text{bzw.}\quad x_2=2x_3-x_4$$Wir schreiben sie alle auf$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\2x_3-x_4\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$und erhalten drei Basisvektoren für \(U\).
Alle Vektoren aus \(V\) erfüllen die Bedingungen$$x_1=0\quad\text{und}\quad x_2=2x_3$$Wir schreiben sie wieder alle auf$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2x_3\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$und erhalten zwei Basisvektoren für \(V\).
Alle Vektoren aus \(U\cap V\) erfüllen die Bedinngungen:$$x_2=2x_3-x_4\quad\text{und}\quad x_1=0\;;\;x_2=2x_3$$Es muss \(x_4=0\) gelten, damit alle Gleichungen gelten.
Die Vektoren aus \(U\cap V\) schreiben wir wieder hin:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2x_3\\x_3\\0\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}$$und finden einem Basisvektor für alle Vektoren aus \(U\cap V\).
Es ist nicht \(U+W=\mathbb R^4\), denn weder in der Darstellung für \(U\) noch in der für \(V\) können wir die \(x_2\)-Koordinate frei wählen. So ist etwa der Vektor \((0;2;0;0)^T\in\mathbb R^4\) weder in \(U\) noch in \(V\) darstellbar.
