Zeigen Sie, dass dann auch das Tripel (u+v, u-v, u-2 v+w) linear unabhängig ist.

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, und seien \( u, v, w \in V \) drei Vektoren, für die das Tripel \( (u, v, w) \) linear unabhängig ist. Zeigen Sie, dass dann auch das Tripel \( (u+v, u-v, u-2 v+w) \) linear unabhängig ist.

Answer 1

Seien \(a,b,c\in\R\) mit \(a(u+v)+b(u-v)+c(u-2v+w)=0\).
Umsortieren liefert \((a+b+c)u+(a-b-2c)v+cw=0\).
Da nach Voraussetzung die Vektoren \(u,v,w\) linear unabhängig sind, gilt dann$$\quad\begin{aligned}(1)&&a+b+c&=0\\(2)&&a-b-2c&=0\\(3)&&c&=0.\end{aligned}$$Das ist ein lineares Gleichungssystem für \(a,b,c\), das wie man leicht nachrechnet nur
die triviale Lösung hat, d.h. es ist \(a=b=c=0\), woraus die Behauptung folgt.

Comments

Danke für die Antwort. Ich verstehe nicht ganz, wie du auf das Umsortieren gekommen bist, also warum dann z.B. a - b - 2c da steht usw.

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$$\large a(u+v)+b(u-v)+c(u-2v+w)=0.$$Ausmultiplizieren:$$\large\red{au}+\blue{av}+\red{bu}-\blue{bv}+\red{cu}-\blue{2cv}+\green{cw}=0.$$Nach \(u,v,w\) sortieren:$$\large\red{(a+b+c)}u+\blue{(a-b-2c)}v+\green cw=0.$$Schließe daraus, dass \(a=b=c=0\) sein muss.

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Achso stimmt, doch relativ simpel. Vielen Dank für die Hilfe :)