> α *v +β*u +γ*w =0 , für α,β,γ =0.
Das gilt auch wenn {u,v,w} linear abhängig ist. Lies dir noch mal genau die Definition von linearer Abhängigkeit durch.
> wenn Vektor w nicht im Span von u,v ist
Seien dann a,b,c ∈ K, so dass
(1) au + bv + cw = 0
ist. Multiplikation mit 1/c liefert
a/c u + b/c v + w = 0.
Subtrahiert man a/c u + b/c v, dann bekommt man
w = -a/c u - b/c v,
was ja im Widerspruch dazu steht, dass w ∉ Span({u,v}) ist. Grund für diesen Widerspruch ist die Multiplikation mit 1/c. Die ist nämlich nur dann möglich, wenn c≠0 ist. In Gleichung (1) muss also c = 0 gewesen sein. Wegen cw = 0 ist dann auch
(2) au + bv = 0.
Weil {u,v} linear unabhängig ist, ist dann auch a = b = 0 und somit {u,v,w} linear unabhängig.