allgemein zeigen dass wenn Vektor w nicht im Span von u,v ist dann muss u,v,w linear unabhängig sein

Question

Es sei V ein K-Vektorraum, die Menge {u,v}  ⊆  V linear unabhängig und w ∈ V. Zeigen Sie , dass entweder w ∈ Span ({u,v}) ist oder {u,v,w} linear unabhängig ist. 

Meine Ideen:

Ich habe ein Problem die Aufgabe allgemein zu lösen. 

Ich weiß, dass lineare Unabhängigkeit bedeutet: α *v +β*u +γ*w =0 , für α,β,γ =0. 

Und dass wenn w im Span von der Menge {u,v} liegt, es genau ein α und ein β geben muss, um w zu konstruieren. Aber wie schreibe ich das allgemein auf? Muss ich mit Vektoren arbeiten? zB.: u=(1,0,0)T und v=(0,1,0), aber dann wäre es nicht allgemein für alle K-Vektrorräume sondern nur für den z.B:.R3. 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Allgemeine Frage zur linearen Unabhängigkeit: u,v linear unabhängig und w

Stichworte: unabhängig,linear,vektoren

kann mir hier jemand sagen, welches hier eine gute Methode wäre die Sache zu zeigen? Muss beides gezeigt werden, oder reicht es zu zeigen dass z.B. w im Span ist, also linear Abhängig zu u oder v?

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Ich habe einen Ansatz, aber naja .. seht selbst... 

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Mir fehlt eigentlich nur der Ansatz wie ich das allgemein zeigen kann. Hätte ich zB. Vektoren aus dem R2 oder R3 mit Werten könnte ich die Aufgabe lösen. 

Answer 1

> α *v +β*u +γ*w =0 , für α,β,γ =0.

Das gilt auch wenn {u,v,w} linear abhängig ist. Lies dir noch mal genau die Definition von linearer Abhängigkeit durch.

> wenn Vektor w nicht im Span von u,v ist

Seien dann a,b,c ∈ K, so dass

(1)        au + bv + cw = 0

ist. Multiplikation mit 1/c liefert

        a/c u + b/c v + w = 0.

Subtrahiert man a/c u + b/c v, dann bekommt man

        w = -a/c u - b/c v,

was ja im Widerspruch dazu steht, dass w ∉ Span({u,v}) ist. Grund für diesen Widerspruch ist die Multiplikation mit 1/c. Die ist nämlich nur dann möglich, wenn c≠0 ist. In Gleichung (1) muss also c = 0 gewesen sein. Wegen cw = 0 ist dann auch

(2)        au + bv = 0.

Weil {u,v} linear unabhängig ist, ist dann auch a = b = 0 und somit {u,v,w} linear unabhängig.

Comments

Hey Oswald, sehr schön. Ich hätte gar nicht gedacht, dass die Aufgabe so tricky ist. 

1. au + bv + cw = 0
Die Definition lineare Abhängigkeit besagt, dass mindestens einer der Koeffizienten  a,b,c ∈ K ungleich Null sein muss. 2. Wenn ich davon ausgehe, dass w nicht im Span liegt, warum kann ich dann mit 1/0 multiplizieren. W liegt doch nur nicht im Span wenn c = 0 ist?

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> Die Definition lineare Abhängigkeit besagt, dass mindestens einer der Koeffizienten  a,b,c ∈ K ungleich Null sein muss.

Nein, das tut sie nicht. Sie besagt, dass mindestns einer der Koeffizienten  a,b,c ungleich Null sein darf.

Ich habe gezeigt, dass alle gleich Null sein müssen, dass also keiner ungleich Null sein darf.

> warum kann ich dann mit 1/0 multiplizieren

Ich habe mit 1/c multipliziert zu einem Zeitpunkt, als ich noch nicht wusste, dass c=0 sein muss. Ich habe daraus einen Widerspruch bekommen. Ich habe geschlussfolgert, dass c=0 sein muss. Das ist ein klassischer Beweis durch Widerspruch.

> W liegt doch nur nicht im Span wenn c = 0 ist?

Nein, wie kommst du darauf?

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was mich noch durcheinander bringt ist 

> wenn Vektor w nicht im Span von u,v ist 

du behauptest doch an dieser Stelle dass die drei Vektoren linear unabhängig seien sollen, ego dann müssten doch alle Koeffizienten =0 sein und im nächsten Schritt multiplizierst du mit 1/c ... an dieser Stelle weißt du doch aber durch deine Annahme schon das c Null sein muss. (weil a=b=0 in der Aufgabe steht muss c dann auch = 0 sein wenn w nicht im Span sein soll)  

Fühlt sich gerade an wie das erste Mal Fahrrad fahren lernen. Ich möchte gerade alles hinwerfen. ^^

Ich habe es mir nochmal so aufgeschrieben :

Wenna,b,c ∈ K undu,v,w linear abhängig dann
au*bv*cw=0 -> w ist genau dann im Span wenn c ungleich 0 ist /w ist nicht im Span wenn c gleich 0 ist /a=b=0, weil in der Aufgabe steht, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind
angenommen w ist im Span von {u,v} dann kann ich durch c teilen, weil ich davon ausgehen c ist eine Zahl ungleich 0 
a/c u + b/c v +w =0 
umstellen 
w=-a/c u -b/c v
weiter komme ich nicht .. 

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> du behauptest doch an dieser Stelle dass die drei Vektoren linear unabhängig seien sollen

Das habe ich nicht. Ich habe lediglich behauptet, das es a,b,c gibt, so dass Gleichung (1) gilt. Diese Behauptung trifft zu, weil a=b=c=0 die Gleichung immer erfüllen, unabhängig davon ob {u,v,w} linear abhängig sind oder nicht.

Dann habe ich untersucht, was passiert, wenn c≠0 ist, indem ich mit 1/c multipliziert habe. Ich habe einen Widerspruch gefunden und daraus geschlussfolgert, dass c≠0 nicht sein kann, also c=0 sein muss.

Die Tatsache c=0 habe ich dann verwendet, um zu zeigen dass a=b=0 ist.

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Ich glaube ich habe es langsam verstanden. Das Problem ist, dass ich mit dem Widerspruchsbeweis noch nicht so vertraut bin. 

Ich will ja eigentlich beweisen A-> B

beim Widerspruchsbeweis nehme ich A->¬B und wenn ¬B falsch ist, muss B richtig sein

B = w∈Span {u,v}

¬B = w∉ Span {u,v}

deine Behauptung ist die Gleichung:

 au + bv + cw = 0

dann einen Widerspruch erzeugen:

/*

ist. Multiplikation mit 1/c liefert

        a/c u + b/c v + w = 0.

Subtrahiert man a/c u + b/c v, dann bekommt man

        w = -a/c u - b/c v,

*/

 c muss ≠0 gewesen sein (Widerspruch zu c∉ Span {u,v} )

muss ich hier wirklich so um 5 Ecken denken ? gar nicht so leicht ..

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Ist das die Struktur des Beweises ? 

Kann du vielleicht ganz netterweise nochmal sagen, was dein A und was dein B ist im Beweis? Ich hoffe ich überstrapaziere nicht deine Geduld. Schonmal vielen Dank bis hierher. 

Noch eine letzte Frage warum muss c=0 gewesen sein es könnte doch auch w =0 die Gleichung erfüllen. 

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Hey Oskar.

Ich habe die Aufgabe nochmal versucht und aufgeschrieben. Wäre das so okay in einer Arbeit? 

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> Ich will ja eigentlich beweisen A-> B

OK.

> beim Widerspruchsbeweis nehme ich A->¬B

Nein. Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil dessen, was man beweisen will. Das Gegenteil von A→B ist nicht A→¬B, sondern ¬(A→B).

Um zu sehen, dass A→¬B nicht das Gegenteil von A→B sein kann, nehme ich mal

        A: x² = 9

        B: x = 3

Die Aussage A→B wäre dann: "Wenn x² = 9 ist, dann ist x = 3". Diese Aussage ist offensichtlich falsch, weil auch x = -3 die Gleichung x² = 9 erfüllt.

Die Aussage A→¬B wäre dann: "Wenn x² = 9 ist, dann ist x ≠ 3". Auch diese Aussage ist offensichtlich falsch, weil x = 3 die Gleichung x² = 9 erfüllt.

> Noch eine letzte Frage warum muss c=0 gewesen sein es könnte doch auch w =0 die Gleichung erfüllen.

Sehr gute Frage!

Ausgangspunkt meiner Argumentation war w ∉ Span({u,v}).

Es ist 0 ∈ Span({u,v}). Also muss w≠0 sein.

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Danke, die Struktur vom Widerspruchsbeweis ist jetzt klarer. 

Entschuldigung, die Zeile verstehe ich nicht ..

Es ist 0 ∈ Span({u,v}). Also muss w≠0 sein.

Was meinst du mit "es ist 0" ?

Ah, ich glaube jetzt habe ich es doch verstanden. :-) Nullvektor wäre im Span? 

Grüße

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> Nullvektor wäre im Span?

Ja, genau das habe ich gemeint.