Zeigen Sie, dass diese Menge an Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn Φ^(k-1) (v) != 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass diese Menge an Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn Φ^(k-1) (v) != 0

Problem/Ansatz:

Sei Φ: V -> V ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V, k>=1, und v ∈ Kern(Φ^k) mit v != 0. Gegeben sei außerdem der Untervektorraum

U=[Φ^(k-1)(v),..., Φ^2(v), Φ(v),v].

Frage 1: Ist Φ nilpotent?

Aufgabe: Zeigen Sie, dass diese Menge an Vektoren in U genau dann linear unabhängig ist, wenn Φ^(k-1) (v) != 0.

Answer 1

Ich schreibe mal F statt Phi.

Wir wollen zeigen: Wenn \(F^{k-1}(v) \neq 0\) dann ist U linear unabhängig. Sei also \(s_i \in K\) mit

$$0=\sum_{j=0}^{k-1}s_jF^{j}(v) \qquad (F^0(v):=v)$$

Dann folgt

$$0=F^{k-1}(0)=\sum_{j=0}^{k-1}s_jF^{j+k-1}(v)=s_0F^{k-1}(v) \Rightarrow s_0=0$$

Dann folgt weiter

$$0=F^{k-2}(0)=\sum_{j=1}^{k-1}s_jF^{j+k-2}(v)=s_1F^{k-1}(v) \Rightarrow s_1=0$$

usw.

Comments

Danke für die Antwort aber wie kommt man daraufhin dass man ne lineare Kombi in F für alle Indizien selbst einsetzen müssen um das zu widerlegen? Das ist mein Problem mit linearer Algebra . Die Aufgabe stammt aus einer Klausur mit über 50% Durchfallquote

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Leider habe ich Deine Frage nicht verstanden. Meinst Du meine erste Formelzeile oder die Zeile nach "dann folgt"?

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Auch wenn die Antwort sehr spät ist :

Ich versteh nicht wieso die Zeile "dann folgt" gilt. Also man aus Summe der F^j einfach F^j+k-1 machen kann und es nichts ändert.

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Ich habe aud die Gleichung vor "dann folgt" den linearen Operator F^(k-1) angewandt.

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Und das darf man einfach so? Ich glaub mir fehlt einfach die Intuition für solche Tricks :(

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Wo ist das Problem? Wenn Du zum Beispiel die "Gleichung " \(\sqrt{x}=2\) gegeben hast, dann wendest Du auch die Quadrieren-Funktion darauf an, um weiterzukommen