Aloha :)
Den Gradienten hast du ja schon bestimmt. Ich habe raus:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{-2xe^{-x^2-4y^2}(4x^2+y^2-4)}{-2ye^{-x^2-4y^2}(16x^2+4y^2-1)}$$An den kritischen Punkten müssen beide Komponenten \(0\) sein.
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, heißt das:$$\red{x(4x^2+y^2-4)=0}\quad\text{und}\quad \green{y(16x^2+4y^2-1)=0}$$
Wir machen folgende Fallunterscheidung:
1. Fall: \(x=0\)
Die rote Gleichung ist erfüllt. Die grüne Gleichung wird zu:$$\green{y(4y^2-1)=0}\implies y=0\;\lor\;y=\pm\frac12$$Dieser Fall liefert also 3 kritische Punkte: \((0|0)\), \((0|-\frac12)\) und \((0|\frac12)\)
2. Fall: \(y=0\)
Die grüne Gleichung ist erfüllt. Die rote Gleichung wird zu:$$\red{x(4x^2-4)=0}\implies x=0\;\lor\;x=\pm1$$Dieser Fall liefert wieder 3 kritische Punkte \((0|0)\), \((-1|0)\) und \((1|0)\).
3. Fall \(x\ne0\) und \(y\ne0\)
Wir können die rote Gleichung durch \(x\) und die grüne Gleichung durch \(y\) dividieren:$$\red{4x^2+y^2=4}\quad\text{und}\quad \green{16x^2+4y^2=1}$$Wenn beide Gleichungen gültig sein sollen, erhalten wir$$\green{1=16x^2+4y^2}=4\cdot(\red{4x^2+y^2})=4\cdot\red4=16$$einen Widerspruch, sodass dieser Fall keine weiteren kritischen Punkte liefert.
Wir fassen alle 5 gefundenen kritischen Punkte zusammen:$$\left(0|0\right)\quad;\quad\left(0\bigg|\pm\frac12\right)\quad;\quad(\pm1|0)$$
