Aloha :)
zu a) Den Gradient von$$f(x;y)=xy\ln(x^2+y^2)$$erhältst du einfach durch partielles Ableiten:$$\frac{\partial f}{\partial x}=y\cdot\ln(x^2+y^2)+xy\cdot\frac{2x}{x^2+y^2}=y\cdot\left(\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2}\right)$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\ln(x^2+y^2)+xy\cdot\frac{2y}{x^2+y^2}=x\cdot\left(\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x^2+y^2}\right)$$
zu b) Bei den kritischen Punkten sind beide partiellen Ableitungen gleich Null. Da der triviale Punkt \((0|0)\) nicht im Definitionsbereich liegt, haben wir folgende Fallunterscheidung:
1. Fall: \(x=0\;\land\;y\ne0\)
Die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial y}\) verschwindet für alle \(y\). Damit die partielle Ableitungen \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ebenfalls verschwindet, muss gelten:$$0\stackrel!=\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2}\stackrel{(x=0)}{=}\ln(y^2)\implies y^2=1\implies y=\pm1$$Dieser Fall liefert uns also 2 kritische Punkte: \(\pink{K_1(0|-1)\;;\;K_2(0|1)}\)
2. Fall: \(x\ne0\;\land\;y=0\)
Die partielle Ableitung \(\frac{\partial f}{\partial x}\) verschwindet für alle \(x\). Damit die partielle Ableitungen \(\frac{\partial f}{\partial y}\) ebenfalls verschwindet, muss gelten:$$0\stackrel!=\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x^2+y^2}\stackrel{(y=0)}{=}\ln(x^2)\implies x^2=1\implies x=\pm1$$Dieser Fall liefert uns also 2 kritische Punkte: \(\pink{K_3(-1|0)\;;\;K_4(1|0)}\)
3. Fall: \(x\ne0\;\land\;y\ne0\)
In diesem Fall müssen die beiden großen Klammern gemeinsam zu Null werden:$$\ln(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2}\stackrel!=0\stackrel!=\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^2}{x^2+y^2}\quad\big|-\ln(x^2+y^2)$$$$\frac{2x^2}{x^2+y^2}=\frac{2y^2}{x^2+y^2}\quad\big|\cdot(x^2+y^2)$$$$2x^2=2y^2\quad\big|\div 2$$$$x^2=y^2$$Da \(x^2=y^2\) gelten muss, heißt das konkret:$$0\stackrel!=\ln(x^2+x^2)+\frac{2x^2}{x^2+x^2}=\ln(2x^2)+1\implies2x^2=\frac1e\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}$$Dieser Fall liefert uns 4 weitere kritische Punkte:$$\small\pink{K_5\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}}\bigg|-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}\;;\;\pink{K_6\left(-\frac{1}{\sqrt{2e}}\bigg|\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}\;;\;\pink{K_7\left(\frac{1}{\sqrt{2e}}\bigg|-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}\;;\;\pink{K_8\left(\frac{1}{\sqrt{2e}}\bigg|\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)}$$
zu c) Die Tangentialebene an die Funktion in einem Punkt \((x_0;y_0)\) lautet:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{x_0}{y_0}\right)$$Da in einem kritischen Punkt der Gradient verschwindet, liegt die Tangentialebene parallel zur xy-Ebene und hat die Form:$$z=\text{const}$$Die Konstante ist der Funktionswert an dem jeweiligen kritischen Punkt. Die Freude am Ausrechnen der Funktionswerte an den 8 kritischen Punkten möchte ich dir nicht nehmen.
