Zeigen Sie: Die Kurve γ = (γ1, . . . , γn) ist genau dann rektifizierbar

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe \( 1\left(2+4+4\right. \) Punkte). Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) und \( \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine stetige Kurve. Zeigen Sie:
(a) Sind \( P \) und \( P^{\prime} \) zwei Unterteilungen von \( [a, b] \) mit \( P \subseteq P^{\prime} \), so gilt \( L(P) \leq L\left(P^{\prime}\right) \).
(b) Die Kurve \( \gamma=\left(\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n}\right) \) ist genau dann rektifizierbar, wenn \( \gamma_{i} \) für alle \( i=1, \ldots, n \) rektifizierbar ist.
(c) Ist \( m \in \mathbb{R} \) mit \( a<m<b \), so ist \( \gamma \) genau dann rektifizierbar, wenn \( \left.\gamma\right|_{[a, m]} \) und \( \left.\gamma\right|_{[m, b]} \) rektifizierbar sind. In diesem Fall gilt \( L(\gamma)=L\left(\left.\gamma\right|_{[a, m]}\right)+L\left(\left.\gamma\right|_{[m, b]}\right) \).

Ich bräuchte hier mal Hilfe :)

zur b) habe ich folgenden ansatz:

A = {L(γ, Z)|Z ist eine Zerlegung von I}
Λ = {L(γ, Z)|Z ist eine Zerlegung von J}. Dann zeige ich dass A = Λ aber wie genau ich das mache, weiß ich noch nicht.

a) und c) weiß ich leider auch nichts.

LG :)

Answer 1

Zu a):
Generell bei Mathe-Aufgaben, wenn einem nichts einfällt, einfach(st)e Beispiele ausprobieren. Hier also wähle \(P=\{a,b\}, P'=\{a,c,b\}\) mit \(a<c<b\). \(P'\) ist eine feinere Zerlegung als \(P\). Weise die Aussage dafür nach. Dann hast Du auch die Idee für den allgemeinen Fall. Dabei achte aber genauestens auf die Notation. Das führt Dich nämlich bei Deinem Ansatz in b) schon deshalb nicht weiter, weil Du nicht genau aufschreibst, was \(I\) und was \(J\) sein soll.

Comments

Ich kann ja bei der a) dann die dreiecksungleichung anwenden oder?
bei b) und c ) komme ich noch nicht weiter

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Zu a): Ja, Du kannst die Dreiecksungleichung anwenden. Schreib den Beweis sauber auf.

Zu b): Die Kurven \(\gamma_i\) sind Kurven in \(\R\). Das ist eine der vielen Aussagen, die sagen, dass es etwas gilt, wenn es in allen Komponenten gilt (genauso wie Stetigkeit, Konvergenz, usw.). Beginne mit einer Richtung und überlege:

1. es ist egal, bez. welcher Norm \(\gamma\) rektifizierbar ist (wg der Normäquivalenz).

2. wähle eine Norm in \(\R^n\), die es bequem macht.