Zeigen sie, dass die Kurve nicht rektifizierbar ist.

Question

Aufgabe:

Aufgabe \( 3(4 \text { Punkte }) \) Zeigen Sie, dass die Kurve \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \) die definiert ist durch
$$ \gamma(t):=\left(t \sin \left(\frac{1}{t \pi}\right), t \cos \left(\frac{1}{t \pi}\right)\right) $$
für \( t \in(0,1] \) und \( \gamma(0):=(0,0), \) nicht rektifizierbar ist. Hinweis: Betrachten Sie einen geeigneten Polygonenzug.

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe um zu verstehen, was ich hier machen soll, ich habe da leider keine Ahnung dabei. Ich wollte auf jeden fall mal sehen, wie man diese Kurve in den Polygonzügen aufteilen kann. Danke nochmals für die Hilfe.

Answer 1

Für die Wahl eines geeigneten Polygonzuges könnte man sich wohl z.B. auf jene Kurvenpunkte beschränken, in welchen z.B. die x-Koordinate gleich 0 wird. Das wären dann also diejenigen Punkte der "Schneckenkurve", die man erhält für  1 / (t · π) = k · π  mit einer ganzen Zahl k  (in einem passenden Bereich).

Wenn dieser Auf-und-ab-Zickzack unendlich lang wird, dann natürlich auch die gesamte Schneckenlinie.

Eine kleine Nebenfrage:  sollen die π s in der Darstellung wirklich im Nenner stehen und nicht doch eher im Zähler ?  So wie es da steht, vermutet man nämlich eine kleine Bösartigkeit des Aufgabenstellers !

Comments

Nee das ding is tatsächlich im Nenner XD Danke nochmals

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Für die Frage nach der Rektifizierbarkeit spielt das ja eh keine Rolle. Aber nach meiner Meinung sollte man Aufgabensteller, die solche doofen Mätzchen in die Aufgaben einbauen, mal gehörig "rektifizieren" (beispielsweise an den Ohren) ...

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Hab noch ne frage für die x-Koordinate auf 0 zu setzen. Da sollte ich eigentlich die Nullstellen von x*sin(1/xpi) finden, oder die formel für die. Damit man dann überprüfen kann, dass x₀  < x_k ist. Richtig ?

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Die passenden  t-Werte sind jene, für welche  sin(π/t) =0 ist  (ich setze jetzt mit Absicht das π in den Zähler !). t=0 können wir ja ohnehin weglassen.

Also soll  π/t = k π sein (für irgendein ganzzahliges k, das überhaupt in Frage kommt). Mit anderen Worten:  t = 1/k  für ein k ∈ ℕ .

Das zugehörige Koordinatenpaar (zum Punkt Nr. k) ist dann (x_k | y_k)  mit x_k = 0  (wie beabsichtigt)  und y_k =  (1/k) * cos(k π) . Diese Cosinuswerte sind natürlich abwechselnd +1 und -1 . Eine Teilstrecke zwischen dem Punkt  P_k und P_k+1 des vertikal- auf- und ab- Zickzacks hat also die Länge  L_k = 1/k + 1/(k+1) .

Die Summation dieser Längen führt dann offensichtlich zu harmonischen Reihen, die offensichtlich divergieren. Damit ist man dann praktisch am Ziel.

Die Komplikation, die sich aus dem Umstand ergibt, dass da die π im Nenner anstatt im Zähler standen, führt nur auf eine proportionale (lästige) Maßstabsänderung, welche natürlich auf die Divergenz keinen Einfluss hat.

Answer 2

Aloha :)

Nicht-rektifizierbar bedeutet, dass die Bogenlänge unendlich lang ist. Also versuchen wir, diese zu bsestimmen und schauen mal, was passiert.$$\left\|\dot\gamma(t)\right\|=\left\|\begin{pmatrix}\sin\left(\frac{1}{\pi t}\right)+t\cos\left(\frac{1}{\pi t}\right)\cdot\left(\frac{-1}{\pi t^2}\right)\\\cos\left(\frac{1}{\pi t}\right)-t\sin\left(\frac{1}{\pi t}\right)\cdot\left(\frac{-1}{\pi t^2}\right)\end{pmatrix}\right\|^2$$$$    \phantom{\left\|\dot\gamma(t)\right\|}=\sqrt{\left(\sin\left(\frac{1}{\pi t}\right)-\frac{1}{\pi t}\cos\left(\frac{1}{\pi t}\right)\right)^2+\left(\cos\left(\frac{1}{\pi t}\right)+\frac{1}{\pi t}\sin\left(\frac{1}{\pi t}\right)\right)^2}$$$$    \phantom{\left\|\dot\gamma(t)\right\|}=\sqrt{1+\left(\frac{1}{\pi t}\right)^2}$$Damit ist die Bogenlänge im Intervall \(t\in(0;1]\):

$$L=\int\limits_0^1\left\|\dot\gamma(t)\right\|dt=\int\limits_0^1\sqrt{1+\left(\frac{1}{\pi t}\right)^2}dt>\int\limits_0^1\sqrt{\left(\frac{1}{\pi t}\right)^2}dt=\int\limits_0^1\frac{1}{\pi t}dt=\left[\frac{1}{\pi}\ln t\right]_0^1$$$$\phantom{L}=\left[\frac{1}{\pi}\ln t\right]_0^1=-\frac{1}{\pi}\lim\limits_{t\to0}\ln t\to+\infty$$Die Kurve ist also tatsächlich unendlich lang.

Comments

Danke Tschakabumba !

Ich bin überrascht über die Vereinfachungen, die sich da offenbar ergeben, bin im Moment aber zu faul, alles nachzurechnen ...

Schöne Pfingstrosen !