Zeigen Sie, dass K:=\bigcap_{n=1}^{∞} K_{N} \neq \emptyset .

Question

Text erkannt:

Es sei \( (E,\|\cdot\|) \) ein normierter Vektorraum.
(b) Sei \( \left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen von \( E \) mit \( K_{n+1} \subset K_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( K:=\bigcap_{n=1}^{\infty} K_{N} \neq \emptyset \).

Answer 1

Wähle eine Folge \((x_n)\) mit \(x_n\in K_n\) für alle \(n\). Benutze dann die Kompaktheit.