Woher kommt die sqrt(n)/2und n>4x^2?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Community,
mir ist folgende Funktion gegeben:
Foto 1
Und die Ableitungen dazu lauten:
Foto 2
Nun soll zu fn(x) ein Taylorpolynom 2. Grades aufgestellt werden und dann ein Restglied ab der dritten Ableitung abgeschätzt werden, welche wie folgt aussieht:
Foto 3
Und diese Abschätzung verstehe ich nicht. Woher kommt die sqrt(n)/2? Außerdem verstehe ich nicht warum n>4x^2 sein muss?

Text erkannt:

mit \( f_{n}(x)=n \ln \left(\frac{x+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right)-\sqrt{n} x \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{rlrl}f_{n}(x) & =n \ln \left(\frac{x+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right)-\sqrt{n} x & & f_{n}(0)=0 \\ f_{n}^{\prime}(x) & =\frac{n}{x+\sqrt{n}}-\sqrt{n} & & f_{n}^{\prime}(0)=0 \\ f_{n}^{\prime \prime}(x) & =-\frac{n}{(x+\sqrt{n})^{2}} & f_{n}^{\prime \prime}(0)=-1 \\ f_{n}^{\prime \prime \prime}(x) & =\frac{2 n}{(x+\sqrt{n})^{3}} & \end{array} \)

Text erkannt:

für ein \( \xi \) zwischen 0 und \( x \).
Für \( n \geq 4 x^{2} \) gilt \( |\xi|<|x| \leq \frac{\sqrt{n}}{2} \) und daher
\( \begin{aligned} \left|\frac{n}{3(\sqrt{n}+\xi)^{3}} x^{3}\right| & \leq\left|\frac{n}{3\left(\sqrt{n}-\frac{\sqrt{n}}{2}\right)^{3}} x^{3}\right| \\ & =\frac{8|x|^{3}}{3 \sqrt{n}} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \end{aligned} \)
also gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=-\frac{1}{2} x^{2} \quad \text { und } \)

Kann mir das bitte jemand erklären?
Lg

Answer 1

Das Restglied soll jeweils für festes \(x\) abgeschätzt werden, wenn \(n\to\infty\).

Woher kommt nun die Ungleichung \(n\geq 4x^2\)?

Dazu schreiben wir das Restglied um (für \(n\) groß genug):

\(\left|\frac n{3(\sqrt n + \xi)^3}x^3\right|= \frac n{3(\sqrt n)^3}{\color{blue}\frac 1{\left(1+\frac{\xi}{\sqrt n} \right)^3}}| x |^3\) mit \(0<|\xi| <|x| \quad (1)\)

Den blauen Term können wir durch \(\frac 1{(1-\frac 12)^3}\) abschätzen, wenn

\(\left|\frac{\xi}{\sqrt n}\right| <\left|\frac{x}{\sqrt n}\right| \leq \frac 12\) gilt.

\(\left|\frac{x}{\sqrt n}\right| \leq \frac 12\) ist aber äquivalent zu \(n\geq 4x^2\).

Damit erhältst du die gewünschte Abschätzung von (1):

\(\frac n{3(\sqrt n)^3}{\color{blue}\frac 1{\left(1+\frac{\xi}{\sqrt n} \right)^3}}| x |^3 \lt \frac 8{3\sqrt n}|x|^3\) für \(n\geq 4x^2\).

Comments

Ok also zuallererst du hast im blauen Term -1/2 und nicht +1/2 gerechnet, weil man den Betrag aufgelöst hat, richtig?

Was ich noch nicht so ganz verstehe ist folgendes:

Den blauen Term können wir durch \(\frac 1{(1-\frac 12)^3}\) abschätzen, wenn\(\left|\frac{\xi}{\sqrt n}\right| <\left|\frac{x}{\sqrt n}\right| \leq \frac 12\) gilt.

Für mich stellt sich da immer noch die Frage woher die 1/2 kommt. Man hätte doch bestimmt anders wählen können, also warum genau 1/2?

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Geh nochmal einen Schritt zurück und mach dir klar, dass das Ziel ist, den Term

\(\frac 1{\left(1+\frac{\xi}{\sqrt n} \right)^3}\)

durch eine Konstante abzuschätzen, wenn \(n\) groß genug ist.

Statt durch \(\frac 1{(1-\frac 12)^3}\) kannst du auch zum Beispiel \(\frac 1{(1-\frac 13)^3}\) nehmen. Dann hast du nur eine andere Abschätzung für \(n\):

\(\left|\frac{x}{\sqrt n}\right| \leq \frac 13\), was äquivalent ist zu \(n\geq 9x^2\).

Dass in deiner Rechnung \(\frac 12\) gewählt wurde, ist also in gewissem Sinne willkürlich. Entscheidend hier ist, eine Zahl zu finden, sodass der fragliche Term durch eine Konstante für \(n\) groß genug abschätzbar ist.

So etwas kommt übrigens öfters bei Abschätzungen vor. Also gewöhn dich schonmal dran.

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Ok danke ich glaub ich hab’s begriffen