Bestimmen Sie die Basisdarstellung CMB(φ) von φ bzgl.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Basisdarstellung CMB(φ) von φ bzgl. der Basen B im Definitionsraum und C im
Bildraum

Problem/Ansatz:

Wie genau komme ich bei dieser Aufgabe auf die Basisdarstellung ? Vielen Dank für alle Antworten und LG.

Text erkannt:

In dieser Aufgabe haben wir zwei Basen \( B \) und \( C \) des \( \mathbb{R}^{4} \) :
\( \begin{array}{l} B=\{\vec{b} 1, \vec{b} 2, \vec{b} 3, \vec{b} 4\} \\ C=\{\vec{c} 1, \vec{c} 2, \vec{c} 3, \vec{c} 4\} \end{array} \)

Die Vektoren von \( B \) sind:
\( \vec{b} 1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{b} 2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{b} 3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{b} 4=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Die Vektoren von \( C \) sind:
\( \vec{c} 1=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{c} 2=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \quad \vec{c} 3=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad \vec{c} 4=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Die Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) ist definiert durch:
\( \varphi(\vec{x})=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \end{array}\right) \cdot \vec{x} \)
(a) Bestimmen Sie die Basisdarstellung \( \operatorname{CMB}(\varphi) \) von \( \varphi \) bezüglich der Basen \( B \) im Definitionsraum und \( C \) im Bildraum.

Answer 1

In der k-ten Spalte der gesuchten Basis stehen die Koeffizienten, die

man braucht um das Bild des k-ten Basisvektors von B mit der

Basis C darzustellen. Für k=1  wäre das etwa so:

\( \varphi(\vec{b1})=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & -2 \end{array}\right) \cdot \vec{b1} =\left(\begin{array}{cccc} 1 \\ 3 \\  2 \\  0 \end{array}\right) \)

Und jetzt  \( a\vec{c1}+b\vec{c2}+c\vec{c3}+d\vec{c4}=\left(\begin{array}{cccc} 1 \\ 3 \\  2 \\  0 \end{array}\right) \)  lösen,

Das gibt a=1 b=0 c=0 d=0 , also hast du die 1. Spalte der Matrix

\( \left(\begin{array}{cccc} 1 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \\ 0 & ? & ? & ? \end{array}\right)  \)