Aloha :)
Bestimme die Eigenwerte als Nullstellen des characteristischen Polynoms:$$p(\lambda)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1)\quad\implies\quad\lambda=\pm1$$
Nun bestimme den Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda=-1\):$$\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\binom{x}{y}=(-1)\cdot\binom{x}{y}\implies\binom{y}{x}=\binom{-x}{-y}\implies y=-x$$Damit enthält der Eigenraum zu \(\lambda=-1\) folgende Vektoren:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{-x}=x\binom{1}{-1}\quad\implies\quad \vec v_{\lambda=-1}=\binom{1}{-1}$$
Und bestimme den Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda=\):$$\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\binom{x}{y}=1\cdot\binom{x}{y}\implies\binom{y}{x}=\binom{x}{y}\implies y=x$$Damit enthält der Eigenraum zu \(\lambda=1\) folgende Vektoren:$$\binom{x}{y}=\binom{x}{x}=x\binom{1}{1}\quad\implies\quad \vec v_{\lambda=1}=\binom{1}{1}$$
