Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von N ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( N \) eine nilpotente Matrix. Zeigen Sie, dass 0 der einzige Eigenwert von \( N \) ist.

Answer 1

Ist \(N^k=0\), so ist \(N\) eine Nullstelle des Polynoms \(X^k\).

Das Minimalpolynom \(\mu_N\) ist daher ein Teiler von \(X^k\),

etwa \(\mu_N=X^m\) mit \(m\leq k\).

\(\mu_N\) hat nur die Nullstelle \(0\) im Koeffizientenkörper.

Answer 2

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(N\) und \(x\) ein zugehöriger Eigenvektor. Dann gilt:

\(N^k x = \lambda^k x = o\) (\(o\) bezeichne den Nullvektor). Da \(x\neq o\), muss \(\lambda^k = 0\) gelten, also \(\lambda = 0\).