Anilpotent.,algebraisch abgeschlossen, 0 der einzige Eigenwert

Question

Aufgabe:

Sei A∈K^n×^n gegeben.  Zeigen  Sie:  Ist K algebraisch  abgeschlossen  und  ist  0  der  einzige Eigenwert  von A,  dann  ist A nilpotent.  Gilt  diese  Aussage  auch über  beliebigen  Körpern? Warum?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Über einem alg. abgeschlossenen Körper zerfällt das

charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Wenn 0 der einzige

Eigenwert ist, sind diese Faktoren alle \(=X\), d.h. das charakteristische

Polynom hat die Gestalt \(X^n\). Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt

damit \(A^n=0\), d.h. \(A\) ist nilpotent.

Über den reellen Zahlen hat die Matrix $$\left(\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)$$

den einzigen Eigenwert 0, ist aber nicht nilpotent.