Zeigen Sie, dass 0 ein Eigenwert von A ist.

Question

Aufgabe:

Eine Matrix A ∈ K^n,n heißt nilpotent, falls es ein k ∈ N \ {0} mit A^k = 0 gibt. Sei A ∈ K^n,n
nilpotent.
(a) Zeigen Sie, dass 0 ein Eigenwert von A ist.
(b) Zeigen Sie, dass A nur den Eigenwert 0 besitzt.
(c) Bestimmen Sie alle diagonalisierbare nilpotente Matrizen in Kn,n
(d) Bestimmen Sie pA und zeigen Sie An = 0.
Hinweis: Sie durfen annehmen, dass ¨ pA in Linearfaktoren zerfällt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich das zeigen kann.

Ansätze wären also sehr lieb, danke :)

Answer 1

A) Sei A^k =0. Dann gilt

A^k= lambda^k*v =0. Das impliziert, dass lambda^k =0 ist und das impliziert, lambda=0.

So hast du a) und b).

Comments

A^k= lambda^k*v =0

wieso gilt das