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Sei \( V \) ein \( n \) -dimensionaler \( K \) -Vektorraum. Ein Automorphismus \( \phi \in \mathrm{GL}(V) \) heißt unipotent, wenn \( \phi-\mathrm{id}_{V} \) nilpotent ist. Zeigen Sie:
(a) \( \phi \in \mathrm{GL}(V) \) ist genau dann unipotent, wenn \( h_{\phi}(X)=(X-1)^{n} \) gilt.
(b) Jeder unipotente Automorphismus ist trigonalisierbar.
(c) Jeder trigonalisierbare Automorphismus \( \phi \in \mathrm{GL}(V) \) hat eine eindeutige Darstellung \( \phi=\phi_{u} \circ \phi_{d} \) mit \( \phi_{u} \) unipotent, \( \phi_{d} \) diagonalisierbar und \( \phi_{u} \circ \phi_{d}=\phi_{d} \circ \phi_{u} \).
