Zeigen Sie : phi=0 wenn phi selbstadjungiert und nilpotent

Question

Aufgabe:

Sei phi ein selbstadjungierter, nilpotenter Endomorphismus von V in einem endlich dimensionalen eukldischen Vektorraum. Zeigen Sie : phi=0

Problem/Ansatz:

Bin mir nicht sicher, aber geht das mit dem Spektralsatz?

Da V endlich dimensional und phi selbstadjungiert , existiert eine ONB sodass die Darstellung von phi bzgl der ONB eine diagonalmatrix ist. Da nilpotent, muss ein k existieren, sodass Diagonalmatrix ^k=0 matrix ist. Wegen diagonal nur möglich wenn 0 Abbildung.(oder muss man das noch genauer begründen)

Stimmt das so oder ist das falsch? Bin mir da sehr unsicher. Wie ginge das wenn es unendlich dimensional wäre, kann man auch mit der Testgleichung irgendwie argumentieren?

Answer 1

Wegen diagonal nur möglich wenn 0 Abbildung.(oder muss man das noch genauer begründen)

Das würde ich schon:

Die k-ten Potenzen einer Diagonalmatrix mit der Diagonale

(a₁,...,a_n) sind immer Diagonalmatrizen, mit der Diagonale (a₁^k,...,a_n^k).

Und wenn die für ein k alle 0 sind, besteht auch die ursprüngliche Diagonale

aus lauter 0en (denn a^k=0 ==> a=0) , also die 0-Matrix und damit phi=0.

Answer 2

Hier

https://www.mathelounge.de/857067/selbstadjungierend-und-nilpotent-daraus-folgt-f-0

findest Du einen Beweis der Aussage, der nicht mit dem Spektralsatz arbeitet. Den kannst Du also übertragen.

Allerdings ist ja bei allgemeinen Räumen und evtl. unstetigen Operatoren der Begriff "selbstadjungiert" eventuell nichttrivial. Da musst Du genauer überlegen, was Du behaupten willst.

Answer 3

Da \(\phi\) nilpotent ist, hat \(\phi\) nur den Eigenwert \(0\).

Da \(\phi\) selbstadjungiert ist, ist \(\phi\) diagonalisierbar mit nur Nullen auf der Hauptdiagonale.

Damit ist \(\phi\) die Nullabbildung.

Comments

Woher weiß ich das, dass wenn phi nilpotent ist, nur der EW 0 existiert?

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Für Eigenwerte gilt \( Av=\lambda v \). Dann ist \( A^nv = \lambda^n v \). Da \( A^n=0 \) für ein \( n \), folgt, dass \( \lambda =0 \) sein muss, da \( v \neq 0 \) (Eigenvektor).