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Ein Endomorphismus f eines endlich erzeugten K-VR V heißt unipotent, wenn f von der Form ist

f = idV + g mit g aus End(V) nilpotent.

Zeigen sie:

          ein f aus End(V) ist unipotent <=> charakteristische Polynom von f = (X-1)^dimV


Ich hab keine Ahnung wie man das zeigt. Ich weiß, dass das f in Linearfaktoren zerfällt mit der algebraischen Vielfachheit dimV und man dann irgendwie eine Basis finden kann womit man eine abbildungsmarix bilden kann..........

Wer kann bitte helfen?

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Hat jemand hier vielleicht eine Ahnung wie das geht?

1 Antwort

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Sei \(f=id+g\) mit nilpotentem \(g\).

Dann ist \(f-id=g\) nilpotent, d.h. es gibt natürliche Zahl \(k>0\) mit

\((f-id)^k=0\). Es ist also \(f\) eine Nullstelle von \((X-1)^k\). Da das charakteristische

Polynom den Grad \(\dim (V)\) hat und dieselben Nullstellen, folgt, dass es die Gestalt

\((X-1)^{\dim(V)}\) haben muss.

Die Umkehrung ist trivial.

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